第 1 章 函数的极限与连续极限是现代数学的最基本的概念，是学习微积分学的重要基础.在后面的几章学习中可以看到，微积分中的重要概念都是通过极限来定义的.本章将介绍极限的概念、性质与运算法则，在此基础上建立函数连续的概念，并讨论连续函数的性质．1.1 初等函数1.1.1 函数1．函数的定义设是一个数集，假如对属于中的每一个数，依照某个对应关系，都有确定的数值和它对应，那么就叫做定义在数集上的的函数，记作．叫做函数的自变量，数集叫做函数的定义域．函数的取值围叫做函数的值域.由定义可知，对应关系和定义域构成函数的二要素.2．函数的定义域在实际问题中，根据所考察问题的实际意义来确定其定义域．对于不具有实际意义的抽象函数，其定义域是使得函数有意义的全体自变量的集合．常见的有:(1) 在分式函数中，分母不能为零；(2) 在根式函数中，负数不能开偶次方；(3) 在对数函数中，真数大于零；(4) 在三角函数和反三角函数中，要符合它们的定义域；(5) 在含有多种式子的函数中，应取各部分定义域的交集.例 1 求下列函数的定义域：（1）；（2）．3．反函数在讨论函数的同时，有时函数和自变量的地位会相互转换，于是就出现了反函数的概念．例如，在函数中，定义域和值域都是，根据和的对应关系，任意给出一个∈，都有唯一确定的与之对应．一般地，设函数，定义域为，值域为．假如对于中的每一个值，都可由确定唯一的值与之对应，这样就确定一个以为自变量的函数，该函数称为函数的反函数，记作．显然，函数的定义域为，值域为．习惯上常用表示自变量，表示函数，故常把的反函数记为．若把函数与其反函数的图形画在同一个平面直角坐标系，则这两个图形关于直线＝对称．因此，函数是函数的反函数，其定义域为，值域为．将函数改为，自变量改为，则函数的反函数为（图 1－1）．图 1－1例 2 求的反函数．4．分段函数在自然科学与工程技术中，用公式表示函数时，常常会遇到一个函数在不同的围用不同的式子表示的情况.如函数是 定 义 在 区 间的 一 个 函 数 . 当时 ，； 当时 ，.在不同的区间用不同的式子来表示的函数叫分段函数.分段函数是用几个解析式子来表示的一个函数，而不是表示几个函数.求分段函数值时，应把自变量的值代入相应取值围的表达式中进行计算.如在上面的分段函数中，；.5．函数的几种特性（1）奇偶性假 如 函 数的 定 义 域关 于 原 点 对 称 ， 且 对 于 任 意 的， ...
