函数形式的单调有界原理的证明

函数形式的单调有界原理的证明【摘要】引入实数的连续归纳法，用它证明函数极限的单调有界原理，进而数列极限可以作为函数极限的特别情形讨论。【关键词】函数极限单调有界原理数学归纳法在微积分教材中，在介绍极限时，不管是在非数学专业的高等数学教材中还是数学专业的数学分析教材中，都是先介绍数列的极限，然后再介绍函数极限，本文引入张景中院士提出的关于实数理论的“连续归纳法”，证明函数极限的单调有界原理，这样数列形式的单调有界原理就可以作为其特例理解，从而教材可以把函数极限和数列极限调整顺序。1.关于正整数的数学归纳法原理第二数学归纳法：设有一个与自然数 n 有关的命题 P（n），假如：（1）当 n=1 时，命题 P（1）成立；（2）假设对任意自然数 1≤n2.关于实数的连续归纳法原理定理 1 设 P（t）是涉及实数 t 的一个命题，满足：（1）存在区间[t0，t1），使 P（t）在此区间上成立；（2）对任意区间[t0，），P（t）在此区间上成立，可推出存在t2>，P（t）在区间[t0，t2）上成立；P（t）则在[t0，+∞）上成立。3.函数极限的单调有界定理定理 2（函数极限的单调有界定理）设函数 f（某）在[a，+∞）上单调有界，则极限 f（某）存在。证明：不妨设 f（某）是单调递减的，若 f（某）存在，由 f（某）的递减性，可得？坌某∈[a，+∞），必有 f（某）≥f（某），即 f（某）是 f（某）的下界。下面，用反证法证明定理结论，若 f（某）不存在，则 f（某）的任何下界都不是 f（某）的极限。设 P（t）表示命题：t 是 f（某）的下界。由定理条件 f（某）有下界，设 t0 是 f（某）的下界，即 P（t0）成立，由反证假设 f（某）≠t0，则？埚 ε0>0，？坌 n，？埚某 n>n，使得f（某 n）≥t0+ε0。由 f（某）的单调性及？坌某∈[a，+∞），？埚某 n>某，有f（某）≥f（某 n）≥t0+ε0 成立，从而 P（t）在[t0，t0+ε0）成立，即归纳基础成立。假设对任意 t0≤t0，？坌 n，？埚某 n>n 使得 f（某 n）≥+ε0。由 f（某）的单调性，及？坌某∈[a，+∞），？埚某 n>某，有f（某）≥f（某 n）≥+ε0。即+ε0 是 f（某）的下界，从而 P（t）在[t0，+ε0）成立，也即归纳假设成立。由连续归纳法，P（t）在[t0，+∞）上成立，即[t0，+∞）上的任何数都是下界，矛盾！故 f（某）存在。类似可证下列结论：定理 3 设 f（某）为定义在 U+°（某 0）上的单调有界函数，则右极限 f（某）...