函数性质补充题

函数性质补充题1、已知函数（1）判断函数在区间上的单调性，并加以证明；（2）如果关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围。解(1),. …………………………2 分 上单调递增函数。……………………4 分（3）原方程即： ①恒为方程的一个解。……………………5 分② 当时方程有解，则当时，方程无解；当时，，方程有解。 设方程的两个根分别是则。 当时，方程有两个不等的负根；…………………7 分 当时，方程有两个相等的负根；………………9 分。 当时，方程有一个负根………………………11 分③ 当时，方程有解，则当时，方程无解；当时，，方程有解。设方程的两个根分别是，当时，方程有一个正根， 当时，方程没有正根。……………………13 分。 综上可得，当时，方程有四个不同的实数解。……16 分。2、已知函数 f(x)的定义域为[0，1]，且同时满足：① f(1)＝3；② f(x)≥2 对一切x∈[0，1]恒成立；③若 x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，则 f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)－2，（Ⅰ）求函数 f(x)的最大值和最小值；（Ⅱ）试比较与（n∈N）的大小；（Ⅲ）某同学发现：当（n∈N）时，有 f(x)＜2x＋2，由此他提出猜想：对一切x∈(0，1]，都有 f(x)＜2x＋2，请你判断此猜想是否正确，并说明理由．解：（Ⅰ）设 x1，x2∈[0，1]，x1＜x2，则 x2－x1∈[0，1]．∴f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]≥f(x2－x1)＋f(x1)－2．∴f(x2)－f(x1)≥f(x2－x1)－2≥0．∴f(x1)≤f(x2)． …………………………2 分则当 0≤x≤1 时，f(0)≤f(x)≤f(1)． …………………………………………3 分在③中，令 x1＝x2＝0，得 f(0)≤2，由②得 f(0)≥2，∴f(0)＝2． ………4 分∴当 x＝0 时，f(x)取得最小值为 2；当 x＝1 时，f(x)取得最大值为 3． ……………………………………………6 分（Ⅱ）在③中，令 x1＝x2＝，得 ……………………8 分∴则． ……………………………………………………………11 分（Ⅲ）对 x∈[0，1]，总存在 n∈N，满足＜x≤． ……………………13 分由（Ⅰ）与（Ⅱ），得，又 2x＋2＞2·＋2＝＋2．∴f(x)＜x＋2．综上所述，对任意 x∈[0，1]．f(x)＜x＋2 恒成立． ………………………16 分3 、 已 知 函 数满 足 对 任 意，且， 都 有． （1）求实数的取值范围；（2）试讨论函数在区间 上的零点的个数；（ 3 ） 对 于 给 定 的 实 数， 有 一 个 最 小 的 负 数...