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函数性质补充题

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函数性质补充题1、已知函数(1)判断函数在区间上的单调性,并加以证明;(2)如果关于的方程有四个不同的实数解,求实数的取值范围。解(1),. …………………………2 分 上单调递增函数。……………………4 分(3)原方程即: ①恒为方程的一个解。……………………5 分② 当时方程有解,则当时,方程无解;当时,,方程有解。 设方程的两个根分别是则。 当时,方程有两个不等的负根;…………………7 分 当时,方程有两个相等的负根;………………9 分。 当时,方程有一个负根………………………11 分③ 当时,方程有解,则当时,方程无解;当时,,方程有解。设方程的两个根分别是,当时,方程有一个正根, 当时,方程没有正根。……………………13 分。 综上可得,当时,方程有四个不同的实数解。……16 分。2、已知函数 f(x)的定义域为[0,1],且同时满足:① f(1)=3;② f(x)≥2 对一切x∈[0,1]恒成立;③若 x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则 f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)-2,(Ⅰ)求函数 f(x)的最大值和最小值;(Ⅱ)试比较与(n∈N)的大小;(Ⅲ)某同学发现:当(n∈N)时,有 f(x)<2x+2,由此他提出猜想:对一切x∈(0,1],都有 f(x)<2x+2,请你判断此猜想是否正确,并说明理由.解:(Ⅰ)设 x1,x2∈[0,1],x1<x2,则 x2-x1∈[0,1].∴f(x1)=f[(x2-x1)+x1]≥f(x2-x1)+f(x1)-2.∴f(x2)-f(x1)≥f(x2-x1)-2≥0.∴f(x1)≤f(x2). …………………………2 分则当 0≤x≤1 时,f(0)≤f(x)≤f(1). …………………………………………3 分在③中,令 x1=x2=0,得 f(0)≤2,由②得 f(0)≥2,∴f(0)=2. ………4 分∴当 x=0 时,f(x)取得最小值为 2;当 x=1 时,f(x)取得最大值为 3. ……………………………………………6 分(Ⅱ)在③中,令 x1=x2=,得 ……………………8 分∴则. ……………………………………………………………11 分(Ⅲ)对 x∈[0,1],总存在 n∈N,满足<x≤. ……………………13 分由(Ⅰ)与(Ⅱ),得,又 2x+2>2·+2=+2.∴f(x)<x+2.综上所述,对任意 x∈[0,1].f(x)<x+2 恒成立. ………………………16 分3 、 已 知 函 数满 足 对 任 意,且, 都 有. (1)求实数的取值范围;(2)试讨论函数在区间 上的零点的个数;( 3 ) 对 于 给 定 的 实 数, 有 一 个 最 小 的 负 数...

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