线段和（差）最值问题VIP专享VIP免费

线段和（差）最值问题引例：如图，有一圆形透明玻璃容器，高15cm，底面周长为24cm，在容器内壁柜上边缘4cm的A处，停着一只小飞虫，一只蜘蛛从容器底部外向上爬了3cm的B处时（B处与A处恰好相对），发现了小飞虫，问蜘蛛怎样爬去吃小飞虫最近？它至少要爬多少路？（厚度忽略不计）．Ⅰ．专题精讲：最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，要归归于几何模型：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型．（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型．Ⅱ．典型例题剖析:一．归入“两点之间的连线中，线段最短”Ⅰ．“饮马”几何模型：条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA＋PB的值最小．模型应用：1．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是．2．如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是．3．如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．4．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．5．如图，等腰梯形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，∠ABC＝60°，P是上底，下底中点EF直线上的一第1题第2题第3题第4题点，则PA+PB的最小值为．6．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为．7．已知A(－2，3)，B(3，1)，P点在x轴上，若PA＋PB长度最小，则最小值为．8．已知：如图所示，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A(1，0)，B(3，0)．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P在该抛物线上滑动，且满足条件S△PAB＝1的点P有几个？并求出所有点P的坐标；（3）设抛物线交y轴于点C，问该抛物线对称轴上是否存在点M，使得△MAC的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．Ⅱ．台球两次碰壁模型已知点A位于直线m，n的内侧，在直线m、n分别上求点P、Q点，使PA+PQ+QA周长最短.变式：已知点A、B位于直线m，n的内侧，在直线m、n分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.模型应用：1．如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长第5题第6题第7题的最小值．2．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M(m，0），N(0，n),使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m＝______，n＝______（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．中考赏析：1．著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1＝PA＋PB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A'，连接BA'交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2＝PA＋PB．（1）求S1、S2，并比较它们的大小；（2）请你说明S2＝PA＋PB的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．2．如图，抛物线y＝x2－x＋3和y轴的交点为A，M为OA的中点，若有一动点P，自M点处出发，沿直线运动到x轴上的某点（设为点E），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F），最后又沿直线运动到点A，求使点P运动的总路程最短的点E，点F的坐标，并求出这个最短路程的长．Ⅲ．已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小．(原理用平移知识解)（1）点...