高中物理竞赛辅导(2) 南京师范大学物理系列化 陈烈佐 静力学 力和运动 共点力的平衡 n 个力同时作用在物体上,若各力的作用线相交于一点,则称为共点力,如图 1 所示。 作用在刚体上的力可沿作用线前、后滑移而不改变其力学效应。当刚体受共点力作用时,可把这些力沿各自的作用线滑移,使都交于一点,于是刚体在共点力作用下处于平衡状态的条件是:合力为零。 (1) 用分量式表示: (2) [例 1]半径为 R 的刚性球固定在水平桌面上,有一质量为 M 的圆环状均匀弹性细绳圈,原长为,绳圈的弹性系数为 k。将圈从球的正上方轻放到球上,并用手扶着绳圈使其保持水平,最后停留在平衡位置。考虑重力,不计摩擦。①设平衡时绳圈长,求 k 值。②若,求绳圈的平衡位置。 分析:设平衡时绳圈位于球面上相应于 θ 角的纬线上。在绳圈上任取一小元段,长为,质量为,今将这元段作为隔离体,侧视图和俯视图分别由图示(a)和(b)表示。 元段受到三个力作用:重力方向竖直向下;球面的支力 N 方向沿半径 R 指向球外;两端张力,张力的合力为位于绳圈平面内,指向绳圈中心。这三个力都在经线所在平面内,如图示(c)所示。将它们沿经线的切向和法向分解,则切向力决定绳圈沿球面的运动。 解:(1)由力图(c)知:合张力沿经线切向分力为: 重力沿径线切向分力为: (2-2) 当绳圈在球面上平衡时,即切向合力为零。 (2-3) 由以上三式得 (2-4) 式中 由题设:。把这些数据代入(2-4)式得。于是。 (2)若时,C=2,而。此时(2-4)式变成 tgθ=2sinθ-1, 即 sinθ+cosθ=sin2θ, 平方后得 。 在的范围内,上式无解,即此时在球面上不存在平衡位置。这时由于 k 值太小,绳圈在重力作用下,套过球体落在桌面上。 [例 2]四个相同的球静止在光滑的球形碗内,它们的中心同在一水平面内,今以另一相同的球放以四球之上。若碗的半径大于球的半径 k 倍时,则四球将互相分离。试求 k 值。 分析:设每个球的质量为 m,半径为 r ,下面四个球的相互作用力为 N,如图示(a)所示。 又设球形碗的半径为R,O'为球形碗的球心,过下面四球的球心联成的正方形的一条对角线 AB 作铅直剖面。如图3(b)所示。当系统平衡时,每个球所受的合力为零。由于所有的接触都是光滑的,所以作用在每一个球上的力必通过该球球心。 上面的一个球在平衡时,其重力与下面四个球对它的支力相平衡。由于分布是对称的,它们之间...