§8-4一阶电路的零输入响应仅含一个独立储能元件的电路称为一阶电路。当电路中没有激励，仅由储能元件的初始储能引起的响应，称为零输入响应。一、RC电路的零输入响应如图8-4-1所示电路，开关原在位置1，电路已达稳态，电压源电压为，则。在时刻，由1切换至2，下面推求零输入响应、。当，切换至2后，由得：（式8-4-1）将代入上式得：（式8-4-2）（式8-4-2）是一个一阶线性常系数齐次微分方程，其特征方程为：特征根为：齐次方程的通解为：（式8-4-3）（式8-4-3）中的积分常数A由初始条件确定。由换路定则得：，代入（式8-4-3），则有：于是：（式8-4-4）（式8-4-5）（式8-4-5）中的负号表示实际的电容放电电流方向与假设的参考方向相反。还可以这样求，图8-4-1即：图8-4-2绘出了、的曲线图，它们都按指数规律衰减。在（式8-4-4）和（式8-4-5）中，含，具有时间的量纲，因而称为电路的时间常数。当为1法拉，为1欧姆时，为1秒。时间常数的大小反映了过渡过程进展的快慢。越大，过渡过程维持的时间越长、过渡过程进行得越慢；越小，过渡过程维持的时间越短、过渡过程进行得越快。下面以电容电压的衰减曲线为例，介绍求时间常数的图解法。在图8-4-3中，从衰减曲线上任一点P作切线，它与轴的交点为，从P点作轴的垂直线，与轴的交点为P’，则：通过实验得出或的衰减曲线，再由图解法求出，这在实际工作中是一种有用的方法。图8-4-2时间常数的大小取决于电路的结构和参数，而与激励无关。串联电路的时间常数。、愈大，愈大。当一定、愈大，则电容上储存的初始能量越大，放电时间愈长；当一定、愈大，则放电电流愈小，放电时间愈长。二、电路的零输入响应如图8-4-4所示电路，电压源电压为，开关原置于位置1，且电路已达稳态，此时电感相当于短接，。当时，开关由1切换至2，求零输入响应、。开关切换至2后，如图8-4-4选定参考方向，由得到：（式8-4-7）（式8-4-7）是一个一阶线性常系数齐次微分方程，其特征方程为：特征根为：（式8-4-8）齐次方程的通解为：（式8-4-9）（式8-4-9）中的积分常数A由初始条件确定。由换路定则：（式8-4-10）由（式8-4-9）：于是：（式8-4-11）可见换路后，电流从初值按指数规律衰减，最终衰减至零，如图8-4-5所示。图8-4-3图8-4-4电阻电压：（式8-4-12）电感电压：（式8-4-13）、相差一个负号，两者的变化规律都与电流相同。它们随时间变化曲线亦示于图8-4-5中。在（式8-4-11）至（式8-4-13）中，含，具有时间的量纲，当为1欧姆，为1亨利，则为1秒，与电路中的时间常数一样，它反映了过渡过程进展的快慢。§8-5一阶电路的零状态响应当所有的储能元件均没有初始储能，电路处于零初始状态情况下，外加激励在电路中产生的响应称为零状态响应。下面分别讨论激励为直流、正弦交流情况下，、电路的零状态响应。一、直流激励下的零状态响应。1、串联电路如图8-5-1所示，开关原置于位置2，电路已达稳态，即，电容上无初始储能。在时刻，开关由2切换至1，电路接通直流电压源，求换路后的零状态响应、、。图8-4-5当，开关切换至1，由得：（式8-5-1）这是一个一阶线性常系数非齐次微分方程。由微分方程求解的知识得：特解：齐次方程的通解：全解为：（式8-5-2）根据换路定则：由（式8-5-2）：因此：最终求得：（式8-5-3）（式8-5-4）（式8-5-5）根据（式8-5-3）—（式8-5-5），画出零状态响应、与随时间变化的曲线，如图8-5-2所示。图8-5-1在图8-5-1所示电路中，当后，电压源对电容充电。电容从初始电压为零逐渐增大，最终充电至稳态电压，而电流则从初始值逐渐减小，最终衰减至稳态值零。2、串联电路。如图8-5-3所示，开关置于位置2，电路已达稳态，即，电感上无初始储能。在时刻，开关由2切换至1，电路接通直流电压源，求换路后的零状态响应、和。当后，开关切换至1，由得：（式8-5-6）（式8-5-6）是一个一阶线性常系数非齐次微分方程。该方程的全解是特解和齐次方程的通解之和，即：（式8-5-7）表示全解，表示特解，表示通解。换路后电路达到新的稳定状态的稳态电流就是特解，即：（式8-5-8）其通解为：（式8-5-9）于是，全解为：（式8-5-10）（式8-5-10）中的积分常数...
