第四节数列求和、数列的综合应用考点一数列求和1.(2012·课标全国，12)数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为()A.3690B.3660C.1845D.1830解析 an＋1＋(－1)nan＝2n－1，∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1，∴a1＋a2…＋＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)…＋＋(a57＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42…＋＋234＝＝1830.答案D2.(2015·江苏，11)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列前10项的和为________.解析 a1＝1，an＋1－an＝n＋1，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，将以上n－1个式子相加得an－a1＝2＋3…＋＋n＝，即an＝，令bn＝，故bn＝＝2，故S10＝b1＋b2…＋＋b10＝2＝.答案3.(2015·安徽，18)已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)由题设知a1·a4＝a2·a3＝8.又a1＋a4＝9.可解得或(舍去).由a4＝a1q3得公比q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1.(2)Sn＝＝2n－1，又bn＝＝＝－，所以Tn＝b1＋b2…＋＋bn…＝＋＋＋＝－＝1－.4.(2015·福建，17)在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3…＋＋b10的值.解(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知得解得所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.(2)由(1)可得bn＝2n＋n，所以b1＋b2＋b3…＋＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)…＋＋(210＋10)＝(2＋22＋23…＋＋210)＋(1＋2＋3…＋＋10)＝＋＝(211－2)＋55＝211＋53＝2101.5.(2015·天津，18)已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1＝b1＝1，b2＋b3＝2a3，a5－3b2＝7.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn＝anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和.解(1)设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，由题意q＞0.由已知，有消去d，整理得q4－2q2－8＝0，又因为q＞0，解得q＝2，所以d＝2.所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1，n∈N*；数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1，n∈N*.(2)由(1)有cn＝(2n－1)·2n－1，设{cn}的前n项和为Sn，则Sn＝1×20＋3×21＋5×22…＋＋(2n－3)×2n－2＋(2n－1)×2n－1，2Sn＝1×21＋3×22＋5×23…＋＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，上述两式相减，得－Sn＝1＋22＋23…＋＋2n－(2n－1)×2n＝2n＋1－3－(2n－1)×2n＝－(2n－3)×2n－3，所以，Sn＝(2n－3)·2n＋3，n∈N*.6.(2015·山东，19)已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(an＋1)·2an，求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)设数列{an}的公差为d，令n＝1，得＝，所以a1a2＝3.令n＝2，得＋＝，所以a2a3＝15.解得a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1.(2)由(1)知bn＝2n·22n－1＝n·4n，所以Tn＝1·41＋2·42…＋＋n·4n，所以4Tn＝1·42＋2·43…＋＋n·4n＋1，两式相减，得－3Tn＝41＋42…＋＋4n－n·4n＋1＝－n·4n＋1＝×4n＋1－.所以Tn＝×4n＋1＋＝.7.(2015·浙江，17)已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，b1＋b2＋b3…＋＋bn＝bn＋1－1(n∈N*).(1)求an与bn；(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn.解(1)由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n(n∈N*).由题意知：当n＝1时，b1＝b2－1，故b2＝2.当n≥2时，bn＝bn＋1－bn，整理得＝，所以bn＝n(n∈N*).(2)由(1)知anbn＝n·2n.因此Tn＝2＋2·22＋3·23…＋＋n·2n，2Tn＝22＋2·23＋3·24…＋＋n·2n＋1，所以Tn－2Tn＝2＋22＋23…＋＋2n－n·2n＋1.故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N*).8.(2015·湖南，19)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3,n∈N*.(1)证明：an＋2＝3an；(2)求Sn.(1)证明由条件，对任意n∈N*，有an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，因而对任意n∈N*，n≥2，有an＋1＝3Sn－1－Sn＋3.两式相减，得an＋2－an＋1＝3an－an＋1，即an＋2＝3an，n≥2.又a1＝1，a2＝2，所以a3＝3S1－S2＋3＝3a1－(a1＋a2)＋3＝3a1，故对一切n∈...
