考点数列的概念及表示方法1．(2013·辽宁，4)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列{}是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中的真命题为()A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4解析如数列为{－2，－1，0，1，…}，则1×a1＝2×a2，故p2是假命题；如数列为{1，2，3，…}，则＝1，故p3是假命题．故选D.答案D2．(2012·浙江，7)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是()A．若d<0，则数列{Sn}有最大项B．若数列{Sn}有最大项，则d<0C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn>0D．若对任意n∈N*，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列解析因Sn＝na1＋n(n－1)d＝n2＋n，所以Sn是关于n的二次函数，当d<0时，Sn有最大值，即数列{Sn}有最大项，故A命题正确．若{Sn}有最大项，即对于n∈N*，Sn有最大值，故二次函数图象的开口要向下，即d<0，故B命题正确．而若a1<0，d>0，则数列{Sn}为递增数列，此时S1<0，故C命题错误．若对于任意的n∈N*，均有Sn>0，则a1＝S1>0，且n＋a1－>0对于n∈N*恒成立，∴>0，即命题D正确，故选C.答案C3．(2011·江西，5)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10＝()A．1B．9C．10D．55解析∵a10＝S10－S9，又∵Sn＋Sm＝Sn＋m，∴S10＝S1＋S9，∴a10＝(S1＋S9)－S9＝S1＝a1＝1.故选A.答案A4．(2015·江苏，11)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列前10项的和为________．解析∵a1＝1，an＋1－an＝n＋1，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，将以上n－1个式子相加得an－a1＝2＋3…＋＋n＝，即an＝，令bn＝，故bn＝＝2，故S10＝b1＋b2…＋＋b10＝2＝.答案5．(2013·新课标全国Ⅰ，14)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________．解析∵Sn＝an＋，①∴当n≥2时，Sn－1＝an－1＋.②①－②，得an＝an－an－1，即＝－2.∵a1＝S1＝a1＋，∴a1＝1.∴{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，an＝(－2)n－1.答案(－2)n－16．(2015·安徽，18)设n∈N*，xn是曲线y＝x2n＋2＋1在点(1，2)处的切线与x轴交点的横坐标．(1)求数列{xn}的通项公式；(2)记Tn＝xx…x，证明Tn≥.(1)解y′＝(x2n＋2＋1)′＝(2n＋2)x2n＋1，曲线y＝x2n＋2＋1在点(1，2)处的切线斜率为2n＋2，从而切线方程为y－2＝(2n＋2)(x－1)．令y＝0，解得切线与x轴交点的横坐标xn＝1－＝.(2)证明由题设和(1)中的计算结果知Tn＝xx…x＝….当n＝1时，T1＝.当n≥2时，因为x＝＝>＝＝.所以Tn>×××…×＝.综上可得对任意的n∈N*，均有Tn≥.7．(2014·广东，19)设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列{an}的通项公式．解(1)依题有解得a1＝3，a2＝5，a3＝7.(2)∵Sn＝2nan＋1－3n2－4n，①∴当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)an－3(n－1)2－4(n－1)．②①－②并整理得an＋1＝.由(1)猜想an＝2n＋1，下面用数学归纳法证明．当n＝1时，a1＝2＋1＝3，命题成立；假设当n＝k时，ak＝2k＋1命题成立．则当n＝k＋1时，ak＋1＝＝＝2k＋3＝2(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时，结论成立．综上，∀n∈N*，an＝2n＋1.8．(2013·广东，19)设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*.(1)求a2的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，…有＋＋＋<.(1)解依题意，2S1＝a2－－1－，又S1＝a1＝1，所以a2＝4.(2)解由题意2Sn＝nan＋1－n3－n2－n，当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1)，两式相减得2an＝nan＋1－(n－1)an－(3n2－3n＋1)－(2n－1)－，整理得(n＋1)an＝nan＋1－n(n＋1)，即－＝1.又－＝1，故数列{}是首项为＝1，公差为1的等差数列，所以＝1＋(n－1)×1＝n.所以an＝n2.(3)证明当n＝1时，＝1<；当n＝2时，＋＝1＋＝<；当n≥3时，＝<＝－，…此时＋＋＋＝1…＋＋＋＋＋<1…＋＋＋＋＋＝1＋＋－＝－<.综上，对一切正整数n，…有＋＋＋<.
