中档题训练4姓名1．已知：A、B是ABC的两个内角，，其中、为相互垂直的单位矢量。若||=，试求tanA·tanB的值。2.一个电路中有三个电子元件，它们接通的概率都是m（0＜m＜1如图，有如下三种联接方法：①②③（1）分别求出这三种电路各自接通的概率；（2）试分析这三种电路哪种性能最优，并证明你的结论.解：（1）三种电路各自接通分别记为事件A1、A2、A3，则P（A1）=m3…………3分P（A2）=1－（1－m）3=3m－3m2+m3………6分P（A3）=2（1－m）m2+m3=2m2－m3……9分（2）P（A2）－P（A1）=3m－3m2=3m（1－m）∵0＜m＜1∴P（A2）＞P（A1）………10分P（A2）－P（A3）=2m3－5m2+3m=m（2m－3）（m－1）＞0∴P（A2）＞P（A3）…………11分三个电子元件并联接通的概率最大，故性能最优………………12分3．空间内有三点（1）对满足的动点，证明：点到一定点的距离为定值；（2）证明（1）中的定点在三点确定的平面内；（3）对（1）中的点，求四面体的体积的最大值。4.设，（1）画出的草图，并在的范围内求的最大值；（2）对于实数，由，所确定的数列，如果存在一个自然数，使，则，试证明之。（3）若对于任意正实数，当时，都有成立，求实数的最小值。
