（人教专用）2014高考数学总复习热点重点难点专题透析专题5第3课时高考中的解析几何解答题练习题理(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)1．(2013·山东卷)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.(1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点．设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2.若k≠0，试证明＋为定值，并求出这个定值．解析：(1)由于c2＝a2－b2，将x＝－c代入椭圆方程＋＝1，得y＝±.由题意知＝1，即a＝2b2.又e＝＝，所以a＝2，b＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)设P(x0，y0)(y0≠0)，又F1(－，0)，F2(，0)，知＋＝＋＝，直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)．联立得整理得(1＋4k2)x2＋8(ky0－k2x0)x＋4(y－2kx0y0＋k2x－1)＝0.由题意Δ＝0，即(4－x)k2＋2x0y0k＋1－y＝0.又＋y＝1，所以16yk2＋8x0y0k＋x＝0，故k＝－.所以＋＝＝·＝－8，因此＋为定值，这个定值为－8.2．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于A，B两点，且|AF|＋|BF|＝2，|AB|的最小值为2.(1)求椭圆E的方程；(2)若圆x2＋y2＝的切线L与椭圆E相交于P，Q两点，当P，Q两点横坐标不相等时，OP(O为坐标原点)与OQ是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．解析：(1)设A(x0，y0)，则B(－x0，－y0)，F(c,0)(c2＝a2－b2)|AF|＋|BF|＝2a＝2，∴a＝.又|AB|＝＝2＝2，0≤x≤a2，∴|AB|min＝2b＝2，∴b＝1，∴椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)由题设条件可知直线L的斜率存在，设直线L的方程为y＝kx＋m.∵直线L与圆x2＋y2＝相切，∴＝，∴m2＝(k2＋1)．将y＝kx＋m代入＋y2＝1中得，(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，Δ＝8(2k2＋1－m2)＞0.令P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1≠x2，则x1＋x2＝①，x1x2＝②，y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝③.∴OP·OQ＝x1x2＋y1y2＝＋＝＝0，∴OP⊥OQ，即OP与OQ垂直．3．设点P是圆x2＋y2＝4上任意一点，由点P向x轴作垂线PP0，垂足为P0，且MP0＝PP0.(1)求点M的轨迹C的方程；(2)设直线l：y＝kx＋m(m≠0)与(1)中的轨迹C交于不同的两点A，B.若直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，求实数m的取值范围．解析：(1)设点M(x，y)，P(x0，y0)，则由题意知P0(x0,0)．由MP0＝(x0－x，－y)，PP0＝(0，－y0)，且MP0＝PP0，得(x0－x，－y)＝(0，－y0)．∴于是又x＋y＝4，∴x2＋y2＝4.∴点M的轨迹C的方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0.∴Δ＝(8mk)2－16(3＋4k2)(m2－3)＞0，即3＋4k2－m2＞0.(*)且依题意，k2＝，即k2＝·.∴x1x2k2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.∴km(x1＋x2)＋m2＝0，即km＋m2＝0.∵m≠0，∴k＋1＝0，解得k2＝.将k2＝代入(*)，得m2＜6.∴m的取值范围是(－，0)∪(0，)．4．(2013·大连市双基测试)设A，B分别是直线y＝x和y＝－x上的动点，且|AB|＝，设O为坐标原点，动点P满足OP＝OA＋OB.(1)求点P的轨迹方程；(2)过点(，0)作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1，l2与点P的轨迹的相交弦分别为CD，EF，设CD，EF的弦中点分别为M，N，求证：直线MN恒过一个定点．解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，∵OP＝OA＋OB，∴x＝x1＋x2，y＝y1＋y2，∵y1＝x1，y2＝－x2，∴x＝x1＋x2＝(y1－y2)，y＝y1＋y2＝(x1－x2)．∵|AB|＝＝，∴x2＋2y2＝2，∴点P的轨迹方程为＋y2＝1.(2)证明：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线l1的方程为x－＝ky.由，得(k2＋4)y2＋2ky－1＝0，∴y1＋y2＝－，x1＋x2＝.∴M点坐标为，同理可得N点坐标为.∴直线MN的斜率kMN＝＝.∴直线MN的方程为y＋＝.整理化简得4k4y＋(4－5x)k3＋12k2y－16y＋(－20x＋16)k＝0，∴x＝，y＝0，∴直线MN恒过定点.
