2010高考数学《数列》专题学案：等差数列和等比数列的综合应用 新人教A版

第 4 课时 等差数列和等比数列的综合应用1．等差数列的常用性质：⑴ m，n，p，r∈N*，若 m＋n＝p＋r，则有 ．⑵ {an}是等差数列， 则{akn} (k∈N*，k 为常数)是 数列．⑶ Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成 数列．2．在等差数列中，求 Sn的最大(小)值，关键是找出某一项，使这一项及它前面的项皆取正(负)值或 0，而它后面的各项皆取负(正)值．⑴ a1> 0，d <0 时，解不等式组 可解得 Sn达到最 值时 n 的值．⑵ a1<0，d>0 时，解不等式组 可解得 Sn达到最小值时 n 的值．3．等比数列的常用性质：⑴ m，n，p，r∈N*，若 m＋n＝p＋r，则有 ．⑵ {an}是等比数列，则{a }、{}是 数列．⑶ 若 Sn≠0，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成 数列．例 1. 是否存在互不相等的三个实数 a、b、c，使它们同时满足以下三个条件：① a＋b＋c＝6② a、b、c 成等差数列．③ 将 a、b、c 适当排列后成等比数列．解：设存在这样的三位数 a，b，c．由 a＋b＋c＝6，2b＝a＋c 得：b＝2，a＋c＝4① 若 b 为等比中项，则 ac＝4，∴ a＝c＝2 与题设 a≠c 相矛盾．② 若 a 为等比中项，则 a2＝2c，则 a＝c＝2(舍去)或 a＝－4，c＝8．③ 若 c 为等比中项，则 c2＝2a，解得 c＝a＝2(舍去)或 c＝－4，a＝8．∴存在着满足条件的三个数：－4，2，8 或 8，2，－4．变式训练 1.若 a、b、c 成等差数列，b、c、d 成等比数列，成等差数列，则 a、c、e 成（ ）A．等差数列 B．等比数列 C．既成等差数列又成等比数列 D．以上答案都不是答案：B。解析：由，由，由∴，即成等比数列。例 2. 已知公差大于 0 的等差数列{}满足 a2a4＋a4a6＋a6a2＝1，a2，a4，a8依次成等比数列，求数列{an}的通项公式 an．解：设{}的公差为 d(d＞0)，由 a2，a4，a8成等比数列可知，，也成等比数列，典型例题基础过关∴()2＝·∴(＋3d)2＝(＋d)(＋7d)化简得 d2＝，∴＝d又 a2a4＋a4a6＋a6a2＝1 化简为＋＋＝∴3·＝·∴·＝3，即(＋d)(＋5d)＝32d·6d＝3 ∴d＝，＝∴＝＋(n－1)d＝∴an＝变式训练 2.已知成等差数列，求证：也成等差数列。解析：由成等差数列，则∴即成等差数列。例 3. 已知△ABC 中，三内角 A、B、C 的度数成等差数列，边 a、b、c 依次成等比数列．求证：△ABC 是等边三角形．解：由 2B＝A＋C，且 A＋B＋C＝180°，B＝60°，由 a、b、c 成等比数列，有 b2＝accosB＝＝＝得(a－c)2＝0，∴ a＝c ...