第 2 课时 导数的概念及性质1． 函数的单调性⑴ 函数 y＝在某个区间内可导，若＞0，则为 ；若＜0，则为 .（逆命题不成立）(2) 如果在某个区间内恒有，则 .注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.(3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法：① 确定函数的 ；② 求，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；③ 把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；④ 确定在各小开区间内的 ，根据的符号判定函数在各个相应小开区间内的增减性.2．可导函数的极值⑴ 极值的概念设函数在点附近有定义，且对附近的所有点都有 （或 ），则称为函数的一个极大（小）值．称为极大（小）值点.⑵ 求可导函数极值的步骤：① 求导数；② 求方程＝0 的 ；③ 检验在方程＝0 的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数 y＝在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数 y＝在这个根处取得 .3．函数的最大值与最小值：⑴ 设 y＝是定义在区间[a ,b ]上的函数，y＝在(a ,b )内有导数，则函数 y＝在[a ,b ]上 有最大值与最小值；但在开区间内 有最大值与最小值．(2) 求最值可分两步进行：① 求 y＝在(a ,b )内的 值；② 将 y＝的各 值与、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(3) 若函数 y＝在[a ,b ]上单调递增，则为函数的 ，为函数的 ；若函数 y＝在[a ,b ]上单调递减，则为函数的 ，为函数的 .例 1. 已知 f(x)=ex-ax-1.（1）求 f(x)的单调增区间；（2）若 f(x）在定义域 R 内单调递增，求 a 的取值范围；（3）是否存在 a,使 f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由.解：=ex-a.（1）若 a≤0，=ex-a≥0 恒成立，即 f(x)在 R 上递增.若 a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).（2） f（x）在 R 内单调递增，∴≥0 在 R 上恒成立.典型例题基础过关∴ex-a≥0，即 a≤ex在 R 上恒成立.∴a≤（ex）min，又 ex>0，∴a≤0.（3）方法一 由题意知 ex-a≤0 在（-∞，0］上恒成立.∴a≥ex在（-∞，0］上恒成立. ex在（-∞，0］上为增函数.∴x=0 时，ex最大为 1.∴a≥1.同理可知 ex-a≥0 在［0，+∞）...
