第 8 课时 空间的角1．两异面直线所成的角：直线 a、b 是异面直线，经过空间一点 O 分别引直线 a' a，b' b，把直线 a'和 b'所成的 或 叫做两条异面直线a、b 所成的角，其范围是 ．2．直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的 所成的 角，叫做这条斜线和平面所成的角．规定： ① 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 角；② 一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是 角．其范围是 ．公式：cosθ＝cosθ1cosθ2，其中，θ1是 ，θ2是 ，θ 是 ．3．二面角：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角．4．二面角的平面角：以二面角的棱上 一点为端点，在两个面内分别作 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，其范围是 ．例 1. 如图，已知矩形 ABCD 所在平面外一点 P，PA⊥平面ABCD，E、F 分别是 AB、PC 的中点．（1）求 EF 与平面 PAD 所成角的大小；（2）求 EF 与 CD 所成角的大小；（3）若∠PDA＝45°，求：二面角 F—AB—D 的大小．解：(1)易知 EF∥平面 PAD，故 EF 与平面 PAD 成角为 0°；(2)易知 EF⊥CD，故 EF 与 CD 成角为 90°；(3)取 AC 中点为 0，则∠FEO 为所求二面角的平面角，易求得∠FEO＝45°．变式训练 1：如图，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，若二面角 C1—BD—C 的大小为 60°，求异面直线 BC1与 AC 所成的角的大小．答案：arccos例 2. 在等腰梯形 ABCD 中，AB＝20，CD＝12，它的高为 2，以底边的中垂线 MN 为折痕，将梯形 MBCN 折至 MB1C1N 位置，使折叠后的图形成 120°的二面角，求：⑴ AC1的长；⑵ AC1与MN 所成的角；⑶ AC1与平面 ADMN 所成的角．答案：(1) 16 (2) arcsin (3) arcsin变式训练 2：已知四边形 ABCD 内接于半径为 R 的⊙O，AC 为⊙O 的直径，点 S 为平面 ABCD 外一点，且 SA⊥平面 ABCD，若∠DAC＝∠ACB＝∠SCA＝30°，求：⑴ 二面角 S－CB－A 的大小；⑵ 直线 SC 与 AB 所成角的大小．答案：(1) arctan (2) arccos例 3. △ABC 和△DBC 所在平面互相垂直，且 AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°．求：典型例题基础过关PBEFDCACDABB1MNC1A1B1D1C1DABCABOCDS⑴ AD 与平面 DBC 所成的角；⑵ 二面角 A－BD－C 的正切值．解：(1) 作 AE⊥BC 交 BC 的延长线于 E，由面 ABC⊥面 BCD 知 AE⊥向 BCD，∠ADE 即为所求，求得...
