12.3 几何概型考情分析以选择题或填空题的形式考查 与长度或面积有关的几何概型的求法是高考对本内容的热点考法，特别是与平面几何、函数等结合的几何概型是高考的重点内容．新课标高考对几何概型的要求较低，因此高考试卷中此类试题以低、中档题为主．基础知识1．几何概型事件 A 理解为区域 Ω 的某一子区域 A，A 的概率只与子区域 A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与 A 的位置和形状无关．满足以上条件的试验称为几何概型．2．几何概型中，事件 A 的概率计算公式P(A)＝.3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．注意事项1.对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．2. (1)线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时．(2)面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是 把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．题型一 与长度有关的几何概型【例 1】点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点 B，则劣弧的长度小于 1 的概率为________．解析 如右图，设 A、M、N 为圆周的三等分点，当 B 点取在优弧上时，对劣弧来说，其长度小于1，故其概率为.答案 【变式 1】 一只蚂蚁在三边长分别为 3,4,5 的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 1 的概率为________．解析 如图，该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 1 的长度为：1＋2＋3＝6，故所求概率为 P＝＝.答案 题型二 与面积有关的几何概型【例 2】设有关于 x 的一元二次方程 x2＋2ax＋b2＝0.(1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数，b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解 设事件 A 为“方程 x2＋2ax＋b2＝0 有实根”．当 a≥0，b≥0 时，方程 x2＋2ax＋b2＝0 有实根的充要条件为 a≥b.(1)基本事件共有 12 个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数...
