12.7 正态分布考情分析利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．基础知识1．正态曲线及性质(1)正态曲线的定义函数 φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中实数 μ 和 σ(σ>0)为参数，我们称 φμ，σ(x)的图象(如图)为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的解析式① 指数的自变量是 x 定义域是 R，即 x∈(－∞，＋∞)．② 解析式中含有两个常数：π 和 e，这是两个无理数．③ 解析式中含有两个参数：μ 和 σ，其中 μ 可取任意实数，σ＞0 这是正态分布的两个特征数．④ 解析式前面有一个系数为，后面是一个以 e 为底数的指数函数的形式，幂指数为－.注意事项1..正态曲线的性质正态曲线 φμ，σ(x)＝e－，x∈R 有以下性质：(1)曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ 对称；(3)曲线在 x＝μ 处达到峰值；(4)曲线与 x 轴围成的图形的面积为 1；(5)当 σ 一定时，曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴平移；(6)当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定，σ 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．2.会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．题型一 正态曲线的性质【例 1】►若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为 .(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；(2)求正态总体在(－4,4]的概率．解 (1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于 y 轴对称，即 μ＝0.由＝，得 σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)．(2)P(－4
