2014 高中数学 第二章数列第 2 讲求数列的通项公式与数列求和教学案 新人教 A 版必修 5（一）求数列的通项公式1、观察法一些数列给出前 n 项便可归纳出通项公式，有的数列观察前几项便可分析出是等差数列或等比数列，由等差、等比数列的通项公式，直接写出通项公式。【基础例题】写出下列各数列的一个通项公式：①2，－6，18，－54，162，－486，…;②；③15，25，35，45，55，…。解答与提示：① 这可以分析依等比数列（公比为（－3））的通项公式得到：② 观察规律： 归纳得出：③ 仔 细 观 察 ， 数 列 各 项 间 有 ：— — 是 等 差 数 列 ：。2、利用前 n 项和 Sn法已知数列的前 n 项和，求通项公式，我们一般利用与的关系：，【基础例题】已知数列的前 n 项的和求它的通项公式。解：，此时 a1＝2≠S1，∴an＝为所求数列的通项公式。【变式练习】（1）已知数列的前 n 项的和 Sn＝3n2－2n，求它的通项公式。（2）已知数列的前 n 项的和 Sn＝，求它的通项公式。3、公式法（1）形如（为常数）且已知——等差数列 ，为常数，由等差数列的通项公式得。【基础例题】已知数列中，求的通项公式。1【基础知识总结】【方法与技巧总结】【基础知识总结】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；【方法与技巧总结】【基础知识总结】【方法与技巧总结】注意项数与项之间的关系，以及符号变化。 解： ，∴，则是以为首项，3 为公差的等差数列。∴为所求的通项公式。（2）形如（q 为常数且）且已知——等比数列 ，∴是以a1 为首项，q 为公比的等比数列。∴。4、构造阶差数列求通项——形如 an＋1＝an＋f（n）该形式中，只要 f（1）＋f（2）＋f（3）…＋f（n－1）可以求出，就可以由 an＋1＝an＋f（n）以 n＝1，2，3，…，n－1 代入递推公式得到 n－1 个等式，然后累加求得 an＋1－a1＝，从而 an＝＋a1。【基础例题】已知 an＋1＝an＋n2＋2n－1，a1＝1，试求数列{an}的通项公式。解：由 an＋1＝an＋n2＋2n－1 得，an＋1－an=n2＋2n－1设 bn= an＋1－an =n2＋2n－1，则数列{bn}的通项公式为 bn＝n2＋2n－1，设{bn}的前 n 项和为 Tn，则Tn＝[12＋22＋32＋…＋（n－1）2＋n2] ＋[（2×1－1）＋（2×2－1）＋（2×3－1）＋…＋[2（n－1）－1]＋（2n－1）] ＝＋＝ bn＝an＋1－an＝n2＋2n－1∴Tn =(an+1－an）+(an－an－1）+…+（a3－a2）＋（a2－a1）=∴an+1－a1＝Tn＝，∴an+1＝+...
