例析函数的值域求解策略一、配方法对于求二次函数或可转化为形的函数的值域（最值）一类问题，我们常常可以通过配方法来进行求解。例 1 求二次函数（）的值域。解：函数的定义域为，，从而函数为对称轴为的开口向下的二次函数，，。即函数的值域为。例 2 已知函数，，求函数的值域。解： 令，，，则， ，即的值域为。二、不等式法利用基本不等式来求函数的值域的方法。常见的不等式：①，，；②或（、）；③或（、、）；④或或（、）；用心 爱心 专心⑤（、）；⑥或或（、、）；⑦（、、）；⑧（、、、）；⑨（、且、）；⑩（、、、）；当我们使用不等式法求函数的值域时，我们特别需要注意等号成立的条件及是否能取得“”。例 3 求函数（）的值域。解：当即时，（当即时取得“”）；当即时，（当即时取得“”）；的值域为。例 4 求函数的值域。解：,当且仅当即或时取得“”，此时函数有最小值；用心 爱心 专心当且仅当即时，，此时函数有最大值；函数的值域为。三、换元法通过引入一个或多个新变量或代数式代替原来的变量或代数式或超越式，通过换元，我们常常可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式等，这样我们就能将比较复杂的函数转化成易于求值域的函数进行求解。例 5（整体换元） 已知，求函数的值域。解：令，，，则故当即也即时，有最小值；当即也即时，有最小值。函数的值域为。例 6（整体换元） 求函数的值域。解：函数的定义与我为，令，那么，当即也即时，函数有最大值；函数无最小值。函数的值域为。点评：对于形如（、 、 、 为常数，）的函数，我们可以利用换元法求其值域。例 7（整体换元） 求函数的值域。用心 爱心 专心解：令，则，且，， 当即也即（）时，函数有最大值；当即也即（）时，函数有最小值。函数的值域为。点评：当函数中和同时出现时，我们往往考虑对进行整体换元从而将函数的值域问题转化为二次函数的值域问题来求解。例 8（三角换元） 求函数的值域。解：注意到函数的定义域为，我们不妨令（），则（，），即函数的值域为。点评：对于形如、、的函数的值域，我们常常可以进行三角换元进行求解。四、单调性法对于形如（、 、 、 为常数，）或者形如而使用不等式法求值域却未能凑效的函数，我们往往可以考虑使用单调性法。例 9 求函数的值域。解：函数的定义域为，显然函数在其定义域上是单调递增的， 当时，函数有最小值，故函数的值域为。用心...
