中档题型训练(四) 三角形、四边形中的相关证明及计算纵观近 8 年河北省中考题，三角形常与旋转、折叠、平移等知识点结合起来考查；四边形中要特别关注四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定，以及运用其性质解决有关计算的问题． 三角形的有关计算及证明【例 1】(2025 重庆 B 卷中考)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E 为 AC 边的中点，过点 A 作 AD⊥AB交 BE 的延长线于点 D.CG 平分∠ACB 交 BD 于点 G，F 为 AB 边上一点，连接 CF，且∠ACF＝∠CBG.求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.【解析】(1)要证明 AF＝CG，可以利用“ASA”证明△ACF≌△CBG 来得到；(2)要证明 CF＝2DE，由(1)得 CF＝BG，则只要证明 BG＝2DE，又利用△AED≌△CEG 可得 DG＝2DE，再证明 DG＝BG 即可．【学生解答】证明：(1) ∠ACB＝90°，CG 平分∠ACB，AC＝BC.∴∠BCG＝∠CAB＝45°.又 ∠ACF＝∠CBG，AC＝BC，∴△ACF≌△CBG(ASA)，∴CF＝BG，AF＝CG；(2)延长 CG 交 AB 于点 H. AC＝BC，CG 平分∠ACB，∴CH⊥AB，H 为 AB 中点．又 AD⊥AB，∴CH∥AD，∠D＝∠EGC.又 H 为 AB 中点，∴G 为 BD 中点，∴BG＝DG， E 为 AC 中点，∴AE＝EC.又 ∠AED＝∠CEG，∴△AED≌△CEG(AAS)，∴DE＝EG，∴DG＝2DE，∴BG＝DG＝2DE.由(1)得 CF＝BG，∴CF＝2DE.1．(2025 毕节中考)如图，已知△ABC 中，AB＝AC，把△ABC 绕 A 点沿顺时针方向旋转得到 △ADE，连接BD，CE 交于点 F.(1)求证：△AEC≌△ADB；(2)若 AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形 ADFC 是菱形时，求 BF 的长．解：(1) △ABC≌△ADE 且 AB＝AC，∴AE＝AD，∠BAC＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE，即∠CAE＝∠DAB，∴在△AEC和△ADB 中，∴△AEC≌△ADB(SAS)；(2) 四边形 ADFC 是菱形，且∠BAC＝45°，∴∠DBA＝∠BAC＝45°.又由(1)得 AB＝AD，∴∠DBA＝∠BDA＝45°.，∴△ABD 是直角边为 2 的等腰直角三角形，∴BD2＝2AB2，∴BD＝2.又 四边形 ADFC 是菱形，∴AD＝DF＝FC＝AC＝AB＝2，∴BF＝BD－DF＝2－2.2．如图，在△ABC 中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点 D，E，F 为 BC 中点，BE 与 DF，DC 分别交于点 G，H，∠ABE＝∠CBE.(1)线段 BH 与 AC 相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；(2)求证：BG2－GE2＝EA2.解：(1)BH＝AC.证明： ∠BDC＝∠BEC＝∠CDA＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BCD＝45°＝∠ABC，∴DB＝DC....
