2025年全国初中数学联合竞赛试题参考答案2025年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1. 设，则 （ A ）A.24. B. 25. C. . D. .2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝ （ C ）A.. B. . C. . D. .3．用表示不大于的最大整数，则方程的解的个数为 （ C ）A.1. B. 2. C. 3. D. 4.4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ B ）A.. B. . C. . D. .5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则CBE＝ （ D ）A.. B. . C. . D. .6．设是大于1909的正整数，使得为完全平方数的的个数是 （ B ）A.3. B. 4. C. 5. D. 6.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1 ． 已 知是 实 数 ， 若是 关 于的 一 元 二 次 方 程的 两 个 非 负 实 根 ， 则的最小值是____________.2 ． 设 D 是 △ ABC 的 边 AB 上 的 一 点 ， 作 DE//BC 交 AC 于 点 E ， 作 DF//AC 交 BC 于 点 F ， 已 知△ADE、△DBF的面积分别为和，则四边形DECF的面积为______.3．假如实数满足条件，，则______.4．已知是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有___7__对.第二试 （A）一．（本题满分20分）已知二次函数的图象与轴的交点分别为A、B，与轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.（1）证明：⊙P与轴的另一个交点为定点.（2）假如AB恰好为⊙P的直径且，求和的值.解 （1）易求得点的坐标为，设，，则，.设⊙P与轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OA×OB＝OC×OD，则.因为，所以点在轴的负半轴上，从而点D在轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为(0,1). （2）因为AB⊥CD，假如AB恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，所以点的坐标为，即. 又，所以，解得. 二．（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，、分别是△ADC、△BDC的内心，AC＝3，BC＝4，求.解 作E⊥AB于E，F⊥AB于F.在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，.又CD⊥AB，由射影定理可得，故，. 因为E为直角三角形ACD的内切圆的半径，所以＝.连接D、D，则D、D分别是∠ADC和∠BDC的平分线，所以∠DC＝∠DA＝∠DC＝∠DB＝45°，故∠D＝90°，所以D⊥D...
