微分中值定理班级: 姓名: 学号: 摘要微分中值定理就是一系列中值定理得总称,就是讨论函数得有力工具,包括费马中值定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、以罗尔定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理组成得一组中值定理就是一整个微分学得重要理论。它不仅沟通了函数与其导数得关系,而且也就是微分学理论应用得桥梁,本文在此基础上,综述了微分中值定理在讨论函数性质,讨论一些方程零点(根)得存在性,与对极限得求解问题,以及一些不等式得证明、罗尔定理定理 1 若函数 f 满足下列条件:(1)在闭区间连续;(2)在开区间可导; (3),则在开区间内至少存在一点,使得、几何意义:在每一点都可导得连续曲线上,若端点值相等则在曲线上至少存在一条水平曲线。(注:在罗尔定理中,三个条件有一个不成立,定理得结论就可能不成立、)例1 若在上连续,在内可导,证明:在内方程至少存在一个根、 证明:令显然在上连续,在内可导,而且根据罗尔定理,至少存在一个,使至少存在一个根、例2 求极限: 解:用有拉格朗日中值定理定理 2:若函数满足如下条件:(1)在闭区间连续;(2)在开区间可导, 则在开区间内至少存在一点,使得 显然,特别当时,本定理得结论即为罗尔中值定理得结论.这表明罗尔中值定理就是拉格朗日中值定理得一种特别情形.拉格朗日中值定理得几何意义就是:在满足定理条件得曲线上至少存在一点,该曲线在该点处得切线平行于曲线两端点得连线. 此外,拉格朗日公式还有以下几种等价表示形式,供读者在不同场合适用:;,;,.值得注意得就是:拉格朗日公式无论对于,还就是都成立,而则就是介于与之间得某一定数.而后两式得特点,在于把中值点表示成了,使得不论为何值,总可为小于1 得某一正数.例 3 求证、证明:当时,显然设对在以1与为端点得闭区间上用拉格朗日中值定理,存在介于1与之间得,使,即当时,,,但此时注意与均为负值,所以仍有,即对不等式恒成立、当时,,,所以有、例 4 证明当时,。证明:要证,只要证设,,由在上连续,在内可导,且于就是,即 故原式成立、推论 1 若函数在区间上可导,且,则为上得一个常量函数。推论 2 若函数与在区间上可导,且,则在区间上与只相差某一常数,即: (为某一常数)推论 3 (导函数极限定理)设函数在点得某邻域上连续,在内可导,且极限存在,则在点可导,且、柯西中值定理定理3(柯西中值定理)设函数与满足 (1)在闭区间上都连续;(2)在开区间内都可导;(3)与不同时为0;(4),则在开区间内至少存在一点,使得例 5 证明证明:令则就就是求对...
