高考数学复习学案——圆锥曲线（双曲线）

高考数学复习学案——圆锥曲线（双曲线）一、定义： 1、平面内，动点 P 到两定点 F1、F2 的距离之差的绝对值常数，，则 P 的运动轨迹是双曲线。其中 F1、F2 称为焦点，—实轴长，—焦距，—虚轴长注：1o、定义中无“绝对值”，则 P 的运动轨迹是双曲线的一支；2o、若，则 P 的运动轨迹是直线 F1F2上除去线段 F1F2 外的两条射线；3o、若，则 P 无运动轨迹。2、平面内，动点 P 到定点 F 的距离与到定直线 的距离之比，且，则 P 的运动轨迹是双曲线. 其中 F 为双曲线的一个焦点， 为与 F 相对应的准线，且焦准距例：1、双曲线，过左焦点 F1 作弦 PQ 交左支于 P、Q，且，求的周长。 （答案：） 2、双曲线上的 M 点到左焦点 F1 的距离为 5，求点 M 到右准线的距离。 （答案：，由于，故舍去 1，,再由第二定义，.） 3、过焦点 F2 作弦 PQ 交右支于 P、Q 两点，作，则由第二定义， 4、（1）F1（0，-3）、F2（0，3），，求 P 的轨迹方程； （2）F1（-1，0）、F2（3，0），，求 P 的轨迹方程；（答案：（1）（2））二、标准方程：1、以线段所在的直线为 x 轴，的中点为坐标原点，建立直角坐标系，则根据双曲线的定义或 =e = 均可推导出双曲线的标准方程： = 1 2、范围： (或)，3、对称性：图像关于 x,y 轴分别对称，也关于原点中心对称。注：（1）双曲线焦点（或实轴）位置的判断。 （2）给定方程表示双曲线，求 m 的取值范围。 (3) 求标准方程：① F(-2 ② ③ 则： 过 (设法：mx (mn>0))三、基本量：1、实轴， 虚轴, 焦距，无大小关系。2、离心率 e=,3、准线,两准线间距，焦准距，4、焦半径公式，P()在双曲线上：=，=， （=，=）5、的范围：P,F 在中心同侧时，，PF 在原点异侧时，。6、参数方程：双曲线 （）上的点 P 可设为（）.7、过焦点 F 作双曲线的弦，若交同一支于 P，Q，则（通径） 若交不同支于 P，Q，则（实轴）8、中常利用:由此可推导出：=b,其中。四、双曲线特有的性质：渐近线1、双曲线，的渐近线方程为：求法：无需标准方程，只要令常数项为 0 即可反之，由渐近线方程可以设双曲线方程为特别地：当渐近线方程为时，双曲线称为等轴双曲线，可设为此种双曲线的离心率2 、 焦 点 F 到 渐 近 线的 距 离 为 b ， 即 形 成 一 个 基 本 三 角 形， 其 中，此 H 恰好也是准线与渐近线的交点。3、过顶点作实轴的垂线，与渐近线，实轴围成一个三角形，由其可求离心率4、一条直线与双曲线只有一个公共点，有两种情形：1）与双曲线相切 2）与渐近线平行，故时常可采用数形结合的方法求直线的斜率的范围。