第二课时利用导数研究函数的极值与最值【选题明细表】知识点、方法题号导数研究函数极值1,2,4,7,8,12导数研究函数最值3,5,10,13导数研究函数的极值、最值综合题6,9,11,14基础对点练(时间:30分钟)1.如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,给出下列命题:①-3是函数y=f(x)的极值点;②-1是函数y=f(x)的极小值点;③y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零;④y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增.则正确命题的序号是(B)(A)①②(B)①④(C)②③(D)③④解析:由导数的图象知①f′(-3)=0,且两边异号,-3是函数y=f(x)的极值点,正确;②x=-1处,f′(-1)=0,但左右同号,错误;③x=0处切线的斜率应该大于零,错误;④f′(x)在(-3,1)上大于等于零,是增函数,正确.故选B.2.下列命题中正确的是(B)(A)函数y=x3-x2+x有两个极值点(B)函数y=48x-x3有两个极值点(C)函数y=x3有且只有一个极值点(D)函数y=ex-x无极值点解析:函数y=x3-x2+x求导得y′=3x2-2x+1,Δ=(-2)2-4×3=-8<0,所以y′>0恒成立,函数单调递增,不存在极值点,A错误;函数y=48x-x3求导得y′=48-3x2=3(4-x)(4+x),存在两个变号零点,所以函数y=48x-x3有两个极值点,B正确;函数y=x3求导得y′=3x2≥0恒成立,所以函数y=x3单调递增,不存在极值点,C错误;函数y=ex-x的导数y′=ex-1,令y′=0得x=0,且当x<0时,y′<0,当x>0时,y′>0,也就是说函数y=ex-x在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以x=0是一个极小值点,D错误.故选B.3.已知a≥1,f(x)=x3+3|x-a|,若函数f(x)在[-1,1]上的最大值和最小值分别记为M,m,则M-m的值为(C)(A)8(B)-a3-3a+4(C)4(D)-a3+3a+2解析:当x∈[-1,1]时,f(x)=x3+3(a-x)=x3-3x+3a(a≥1),对函数求导得f′(x)=3(x-1)(x+1).当-1≤x≤1时,f′(x)≤0,所以函数f(x)在区间[-1,1]上单调递减,所以M=f(-1)=3a+2,m=f(1)=3a-2,所以M-m=4.故选C.4.已知f(x)=x3-ax2+4x有两个极值点x1,x2,且f(x)在区间(0,1)上有极大值,无极小值,则实数a的取值范围是(A)(A)(,+∞)(B)[,+∞)(C)(-∞,)(D)(-∞,]解析:由题意得f′(x)=3x2-2ax+4.因为f(x)在区间(0,1)上有极大值,无极小值,所以f′(x)=0的两个根中x1∈(0,1),x2>1,所以f′(0)=4>0,f′(1)=7-2a<0,解得a>.故选A.5.若函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为(B)(A)-10(B)-71(C)-15(D)-22解析:因为f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3).令f′(x)=0,解得x=-1或3.列表如下:x[-4,-1)-1(-1,3)3(3,4]f′(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知当x=-1时,f(x)取得极大值,且f(-1)=-1-3+9+k=5+k,而f(4)=43-3×42-9×4+k=k-20<5+k,故最大值为f(-1)=5+k,所以5+k=10,解得k=5.所以f(x)=x3-3x2-9x+5.又极小值为f(3)=-22,区间端点值f(-4)=-71.所以函数f(x)在x=-4取得最小值-71.故选B.6.(2016·广西北海市高考一模)已知函数f(x)=ax-lnx,当x∈(0,e](e为自然对数的底数)时,函数f(x)的最小值为3,则a的值为(B)(A)e(B)e2(C)2e(D)2e2解析:函数的定义域为(0,+∞),函数的导数f′(x)=,①当a≤0时,f′(x)<0,f(x)在x∈(0,e]上单调递减,最小值f(e)<0,与题意不符;②当a>0时,f′(x)=0的根为.当0<
时,f(x)在x∈(0,)上单调递减,在(,e)上单调递增.f(x)min=f()=1-ln=3,解得a=e2,③当≥e,即0
