【创新设计】（全国通用）2017版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第8讲曲线与方程练习理新人教A版基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1.方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是()A.两条直线B.两条射线C.两条线段D.一条直线和一条射线解析原方程可化为或－1＝0，即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线.答案D2.已知点A(1，0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若RA＝AP，则点P的轨迹方程为()A.y＝－2xB.y＝2xC.y＝2x－8D.y＝2x＋4解析设P(x，y)，R(x1，y1)，由RA＝AP知，点A是线段RP的中点，∴即 点R(x1，y1)在直线y＝2x－4上，∴y1＝2x1－4，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x.答案B3.设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是()A.y2＝2xB.(x－1)2＋y2＝4C.y2＝－2xD.(x－1)2＋y2＝2解析如图，设P(x，y)，圆心为M(1，0)，连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1，又 |PA|＝1，∴|PM|＝＝，即|PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2.答案D4.已知点F(0，1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且QP·QF＝FP·FQ，则动点P的轨迹C的方程为()A.x2＝4yB.y2＝3xC.x2＝2yD.y2＝4x解析设点P(x，y)，则Q(x，－1).因为QP·QF＝FP·FQ，所以(0，y＋1)·(－x，2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y.答案A5.平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足OC＝λ1OA＋λ2OB(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是()A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线解析设C(x，y)，因为OC＝λ1OA＋λ2OB，所以(x，y)＝λ1(3，1)＋λ2(－1，3)，即解得又λ1＋λ2＝1，所以＋＝1，即x＋2y＝5，所以点C的轨迹为直线，故选A.答案A二、填空题6.已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积为__________.解析设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得＝2，∴3x2＋3y2－12x＝0，即x2＋y2－4x＝0.∴P的轨迹为以(2，0)为圆心，半径为2的圆.即轨迹所包围的面积等于4π.答案4π7.动点P(x，y)到定点A(3，4)的距离比P到x轴的距离多一个单位长度，则动点P的轨迹方程为________.解析由题意知动点P满足|PA|＝|y|＋1，即＝|y|＋1，当y＞0时，整理得x2－6x－10y＋24＝0；当y≤0时，整理得x2－6x－6y＋24＝0，变形为(x－3)2＋15＋6y，此方程无轨迹.答案x2－6x－10y＋24＝0(y＞0)8.在△ABC中，|BC|＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且|BD|－|CD|＝2，则顶点A的轨迹方程为________.解析以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E、F分别为两个切点.则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，|AE|＝|AF|.∴|AB|－|AC|＝2＜|BC|＝4，∴点A的轨迹为以B，C的焦点的双曲线的右支(y≠0)且a＝，c＝2，∴b＝，∴轨迹方程为－＝1(x＞).答案－＝1(x＞)三、解答题9.(2016·烟台模拟)已知点C(1，0)，点A，B是⊙O：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足AC·BC＝0，设P为弦AB的中点.(1)求点P的轨迹T的方程；(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由.解(1)连接CP，OP，由AC·BC＝0，知AC⊥BC，∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|，由垂径定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，即|OP|2＋|CP|2＝9，设点P(x，y)，有(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，化简，得x2－x＋y2＝4.(2)存在.根据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点C(1，0)的距离的点都在抛物线y2＝2px(p＞0)上，其中＝1.∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x，由方程组得x2＋3x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－4，由x≥0，故取x＝1，此时y＝±2.故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1，2).10.如图，动圆C1：x2＋y2＝t2，1＜t＜3，与椭圆C2：＋y2＝1相交于A，B，C，D四点.点A1，A2分别为C2的左，右顶点.求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程.解由椭圆C2：＋y2＝1，知A1(－3，0)，A2(3，0).设点A的坐标为(x0，y0)；由曲线的对称性，得B(x0，－y0)，设点M的坐标为(x，y)，直线AA1的方程为y＝(x＋3).①直线A2B的方程为y＝(x－3).②由①②相乘得y2＝(x2－9).③又点A(x0，y0...
