巧解双曲线得离心率离心率就是双曲线得重要性质,也就是高考得热点。常常考查:求离心率得值,求离心率得取值范围,或由离心率求参数得值等。下面就介绍一下常见题型与巧解方法。1、求离心率得值(1)利用离心率公式,先求出,再求出值。(2)利用双曲线离心率公式得变形: ,先整体求出,再求出值。例 1 已知双曲线得一条渐近线方程为,则双曲线得离心率为__________、分析:双曲线得渐近线方程为,由已知可得解答:由已知可得,再由,可得、(3)构造关于得齐次式,再转化成关于得一元二次方程,最后求出值,即“齐次化”。例如:例 2 设双曲线得一个焦点为,虚轴得一个端点为,假如直线与该双曲线得一条渐近线垂直,那么此双曲线得离心率为____________、分析:利用两条直线垂直建立等式,然后求解。解答:因为两条直线垂直, 所以(负舍)2、求离心率得取值范围求离心率得取值范围关键就是建立不等关系。(1)直接根据题意建立得不等关系求解得取值范围。例 3 若双曲线(),则双曲线离心率得取值范围就是_________、分析:注意到得条件解答:(2)利用平面几何性质建立不等关系求解得取值范围。例 4 双曲线得两个焦点为,若为其上非顶点得一点,且,则双曲线离心率得取值范围为__________、分析:由双曲线上非顶点得点与两个焦点构成三角形,利用三角形性质构建不等式。解答:因为,而,又因为三角形两边之与大于第三边,两边之差小于第三边,,所以。(3)利用圆锥曲线相关性质建立不等关系求解得取值范围。例 5 已知双曲线得左,右焦点分别为,点 P 在双曲线得右支上,且,则此双曲线离心率 e 得取值范围就是__________、分析:此题与上题类似,但也可以换一种办法找不等关系。解答:由可得,又因为点 P 在双曲线得右支上,,即,所以、(4)运用数形结合思想建立不等关系求解得取值范围。例 6 双曲线得右焦点为,若过点且倾斜角为得直线与双曲线得右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率得取值范围就是______分析:由直线与双曲线得位置关系得到不等关系解答:由图象可知渐近线斜率,再由 。(5)运用函数思想求解得取值范围。例 7 设,则双曲线得离心率得取值范围就是________、分析:把离心率表示成关于得函数,然后求函数得值域解答:把或表示成关于得函数,,然后用求函数值域得方法求解,。小结:通过以上例题,同学们应该体会到求离心率得值或取值范围有很多种办法,求值不一定非要先求出得值,能够得到中某两者得关系即可;求取值范围关键就就是找到不等关系建立不等式,不等关系可以来自已知条件、可...
