高中数学 抽象函数中常考的问题分类解析素材 新人教版VIP专享

抽象函数中常考的问题分类解析我们将没有明确给出解析式的函数称为抽象函数。近年来抽象函数问题频频出现于各类考试题中，由于这类问题抽象性强，灵活性大，多数同学感到困惑，求解无从下手。本文试图通过实例作分类解析，供学习参考。 1. 求定义域 这类问题只要紧紧抓住：将函数 中的 看作一个整体，相当于 中的x这一特性，问题就会迎刃而解。 例1. 函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是___。 分析：因为 相当于 中的x，所以 ，解得 或 。 例2. 已知 的定义域为 ，则 的定义域是______。 分析：因为 及 均相当于 中的x，所以 (1)当 时，则 (2)当 时，则 2. 判断奇偶性 根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求 与 的关系。 例3. 已知 的定义域为R，且对任意实数x，y满足 ，求证： 是偶函数。 分析：在 中，令 ， 得 令 ，得 于是 故 是偶函数。 例4. 若函数 与 的图象关于原点对称，求证：函数 是偶函数。 证明：设 图象上任意一点为P（ ） 与 的图象关于原点对称， 关于原点的对称点 在 的图象上， 又 即对于函数定义域上的任意x都有 ，所以 是偶函数。 3. 判断单调性 根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。 例5. 如果奇函数 在区间 上是增函数且有最小值为5，那么 在区间 上是 A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为 C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为 分析：画出满足题意的示意图1，易知选B。用心 爱心 专心1图1 例6. 已知偶函数 在 上是减函数，问 在 上是增函数还是减函数，并证明你的结论。 分析：如图2所示，易知 在 上是增函数，证明如下： 任取 因为 在 上是减函数，所以 。 又 是偶函数，所以 ， 从而 ，故 在 上是增函数。图2 4. 探求周期性 这类问题较抽象，一般解法是仔细分析题设条件，通过类似，联想出函数原型，通过对函数原型的分析或赋值迭代，获得问题的解。 例7. 设函数 的定义域为R，且对任意的x，y有 ，并存在正实数c，使 。试问 是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。 分析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现： 满足题设条件，且 ，猜测 是以2c为周期的周期函数。 故 是周期函数，2c是它的一个周期。 5. 求函数值 紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函...