高中数学人教版选修 4-4： 渐开线与摆线【自主学习】任务 1：阅读教材 P40—42，理解下列问题：1. 渐开线把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外 端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展 开，那么铅笔会画出一条曲线.这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？我们先分析动点(笔尖)所满足的几何条件.如图，设开始时绳子外端(笔尖)位于点A，当外端展开到点 M 时，因为绳子对圆心角(单位是弧度)的一段弧 AB，展开后成为切线BM，所以切线 BM 的长就是 AB 的长，这是动点(笔尖)满足的几何条件.我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆.根据动点满足的几何条件: 我们以基圆圆心 O 为原点，直线 OA 为 x 轴，建立平面直角坐标系(图).设基圆的半径为 r，绳子外端 M 的坐标为(x,y).显然，点 M 由角惟一确定. 任务 2：完成下列问题：摆线如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么当自行车在笔直的道路上行驶时，白色印记会画出什么样的曲线？上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚 动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？如图，假设 B 为圆心，圆 周上的定点为 M，开始时位于 O 处.圆在直线上滚动时，点 M绕圆心作圆周运动，转过 (弧度)角后，圆与直线相切于 A，线段 OA 的长等于 MA 的长，即OA=r.这就是圆周长上 的定点 M 在圆 B 沿直 线滚动过程中满足的几何条件.我们把点 M 的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线.【合作探究】在摆线的参数方程中，参数的取值范围是什么？一个拱的宽度与高度各是多少？【目标检测】求摆线与直线 y=2 的交点的直角坐标.【学习反思】：本节课我学到了什么？我的学习效率如何？还有哪些没学懂。
