第 3 课 圆的方程与空间直角坐标系[题型探究]求圆的方程【例 1】 有一圆与直线 l：4x－3y＋6＝0 相切于点 A(3,6)，且经过点 B(5,2)，求此圆的方程．[ 解 ] 法 一 ： 设 圆 的 方 程 为 x2 ＋ y2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 ， 圆 心 为 C ， 由CA⊥l，A(3,6)，B(5,2)在圆上，得解得∴所求圆的方程为：x2＋y2－10x－9y＋39＝0.法二：设圆心为 C，则 CA⊥l，又设 AC 与圆的另一交点为 P，则 CA 方程为 y－6＝－(x－3)，即 3x＋4y－33＝0.又 kAB＝＝－2，∴kBP＝，∴直线 BP 的方程为 x－2y－1＝0.解方程组得∴P(7,3)，∴圆心为 AP 中心，半径为|AC|＝，∴所求圆的方程为(x－5)2＋2＝.求圆的方程主要是利用圆系方程、圆的标准方程和一般方程关系，利用待定系数法解题 .采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：1选择圆的方程的某一形式；2由题意得 a，b，r或 D，E，F的方程组；3解出a，b，r或 D，E，F；4代入圆的方程.1．已知圆经过点 A(2，－1)，圆心在直线 2x＋y＝0 上且与直线 x－y－1＝0 相切，求圆的方程．[解] 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)． 圆心在直线 y＝－2x 上，∴b＝－2a，即圆心为(a，－2a)．又圆与直线 x－y－1＝0 相切，且过点(2，－1)，∴＝r，(2－a)2＋(－1＋2a)2＝r2，即(3a－1)2＝2(2－a)2＋2(－1＋2a)2，解得 a＝1 或 a＝9.∴a＝1，b＝－2，r＝或 a＝9，b＝－18，r＝，故所求圆的方程为：(x－1)2＋(y＋2)2＝2，或(x－9)2＋(y＋18)2＝338.与圆有关的最值问题【例 2】 已知实数 x，y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0(1)求的最大值与最小值；(2)求 y－x 的最大值与最小值；(3)求 x2＋y2的最大值与最小值．[思路探究] 注意到，的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率；y－x 可以看作直线 y＝x＋b 在 y 轴上的截距；x2＋y2是圆上一点与原点距离的平方，借助平面几何知识，利用数形结合求解．[解] 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以点(2,0)为圆心，为半径的圆．(1)设＝k，即 y＝kx.当直线 y＝kx 与圆(x－2)2＋y2＝3 相切时，斜率 k 取得最大值与最小值，此时＝，解得 k＝±.故的最大值为，最小值为－.(2)设 y－x＝b，即 y＝x＋b，当直线 y＝x＋b 与圆相切时，直线在 y 轴上的截距 b 取得最大值与最小值，此时＝，解得 b＝－2±，故 y－x 的最大值为－2＋，最小值为－2－.(3)x2＋y2表示圆上的...
