3.2 基本不等式≤(a，b≥0)3.2.1 基本不等式的证明学 习 目 标核 心 素 养1．了解基本不等式的证明过程．(重点)2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．3．能利用基本不等式求简单函数的最值．(难点)1．通过不等式的证明，培养逻辑推理素养．2．借助基本不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算素养．如下表所示，再任意取几组正数 a，b，算出它们的算术平均数和几何平均数，猜测一般情况下两个正数的算术平均数与几何平均数的大小．尝试用比较法加以证明．a12b1413121．算术平均数与几何平均数对于正数 a，b，我们把称为 a，b 的算术平均数，称为 a，b 的几何平均数．2．基本不等式如果 a，b 是正数，那么≤(当且仅当 a ＝ b 时，等号成立)，我们把不等式≤ ( a ， b ≥0) 称为基本不等式．思考：如何证明不等式≤(a，b≥0)?[提示] 因为 a＋b－2＝()2＋()2－2·＝(－)2≥0，当且仅当 a＝b 时，等号成立，所以 a＋b≥2，所以≤，当且仅当 a＝b 时，等号成立．3．两个重要的不等式 若 a，b∈R，则(1)ab≤，即 a2＋b2≥2ab(当且仅当 a＝b 时，等号成立)；(2)ab≤ (当且仅当 a＝b 时，等号成立)．4．应用基本不等式求最值在运用基本不等式≤求最值时，要把握好三个要点“一正、二定、三相等”．一正： a，b 是正数．二定：①和 a＋b 一定时，由≤变形得 ab≤，即积 ab 有最大值；② 积 ab 一定时，由≤变形得 a＋b≥2，即和 a ＋ b 有最小值 2．三相等：取等号的条件都是当且仅当 a＝b 时，等号成立．1．不等式 a2＋1≥2a 中等号成立的条件是( )A．a＝±1 B．a＝1C．a＝－1 D．a＝0B [当 a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即 a＝1 时，“＝”成立．]2．已知 a，b∈(0,1)，且 a≠b，下列各式中最大的是( )A．a2＋b2 B．2C．2ab D．a＋bD [因为 a，b∈(0,1)，所以 a2＜a，b2＜b，所以 a2＋b2＜a＋b，又 a2＋b2＞2ab(因为 a≠b)，所以 2ab＜a2＋b2＜a＋b．又因为 a＋b＞2(因为 a≠b)，所以 a＋b 最大．]3．已知 ab＝1，a>0，b>0，则 a＋b 的最小值为( )A．1 B．2 C．4 D．8B [因为 a>0，b>0，所以 a＋b≥2＝2，当且仅当 a＝b＝1 时取等号，故 a＋b 的最小值为 2．]4．当 a，b∈R 时，下列不等关系成立的是 ．①≥；② a－b≥2；③ a2＋b2≥2ab；④ a2－b2≥2ab．③ [根据≥ab，≥成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．]对基...
