3.2.2 基本不等式的应用学 习 目 标核 心 素 养1．熟练掌握利用基本不等式求条件最值和多元最值．(重点)2．会利用基本不等式求参数的取值范围．(重点)3．会用基本不等式求解简单的实际应用题．(重点、难点)1．由基本不等式求最值，提升数学运算素养．2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养．一养殖场想用栅栏围成一个长、宽分别为 a、b 的矩形牧场，现在已有材料能做成 l km的栅栏，那么如何设计才能使围成的矩形牧场面积最大？1．利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．2．应用基本不等式解简单的实际应用题(函数类)(1)合理选择自变量，建立函数关系；(2)寻找利用基本不等式的条件(和或积为定值)(3)解题注意点① 设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．② 根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．③ 在求函数的最值时，一定要在使实际问题有意义的自变量的取值范围内求解．1．已知 a＞0，b＞0，a＋b＝2，则 y＝＋的最小值是( )A． B．4 C． D．5C [ a＋b＝2，∴＝1．∴＋＝＝＋≥＋2＝(当且仅当＝，即 b＝2a 时，等号成立．)故 y＝＋的最小值为．]2．若 x>0，a>0 且 a 为正常数，且 x＋的最小值为 4，则 a＝ ．4 [因为 x>0，a>0 所以 x＋≥2＝2＝4，解得 a＝4．]3．直角三角形 ABC 的斜边 AB＝4，则△ABC 的面积的最大值为 ．4 [设直角三角形 ABC 的另外两条直角边分别为 a，b 则 a2＋b2＝42＝16，所以△ABC 的面积 S＝ab≤＝4 当且仅当 a＝b＝2 时取等号．]利用基本不等式求条件最值或多元最值【例 1】 (1)已知 a＞0，b＞0,2a＋b＝1，则＋的最小值为( )A．4 B．6 C．8 D．9(2)设 a＞b＞0，则 a2＋＋的最小值是( )A．1 B．2 C．3 D．4(3)若正数 x，y 满足 x2＋6xy－1＝0，则 x＋2y 的最小值是( )A． B． C． D．(1)C (2)D (3)A [(1)法一(“1”的代换)：因为 a＞0，b＞0,2a＋b＝1，所以＋＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2 ＝8，当且仅当 b＝2a＝时取等号，故选 C．法二 (消元法)：因为 2a＋b＝1，所以 b＝1－2a，又 a＞0，b＞0，所以 所以＋＝＋＝＝＝≥＝8，当且仅当 2a＝1－2a，即 ...
