柯西不等式求最值 1. 设 a、b、c 为正数，求的最小值【答案】1212.设 x，y，z Î R，且满足 x2 + y2 + z2 = 5，则 x + 2y + 3z 之最大值为 解(x + 2y + 3z)2 £ (x2 + y2 + z2)(12 + 22 + 32) = 5．14 = 70∴ x + 2y + 3z 最大值为3.设 x，y，z Î R，若 x2 + y2 + z2 = 4，则 x - 2y + 2z 之最小值为 时，(x，y，z) = 解(x - 2y + 2z)2 £ (x2 + y2 + z2)[12 + ( - 2) 2 + 22] = 4．9 = 36∴ x - 2y + 2z 最小值为 - 6，公式法求 (x，y，z) 此时 ∴ ，，4.设，，试求的最大值 M 与最小值 m。答：根据柯西不等式 即 而有 故的最大值为 15，最小值为–15。5.设，试求之最小值即 将代入其中，得 而有 故之最小值为 4。变形：.设 x，y，z Î R，2x + 2y + z + 8 = 0，则(x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2之最小值为[2(x - 1) + 2(y + 2) + (z - 3)]2 £ [(x - 1)2 + (y + 2) 2 + (z - 3) 2]．(22 + 22 + 12)Þ (x - 1)2 + (y + 2) 2 + (z - 3) 2 ³= 96.设 x, y, zR，若，则之最小值为________，又此时________ ∴最小值 ∴ ∴7.设 a, b, c 均为正数，且，则之最小值为________，此时________。解： ∴，最小值为 18 等号发生于 故 ∴ 又 ∴8.设 x, y, zR，若，则之范围为何？又发生最小值时，？答案： 若又∴∴ ∴9.设 x，y，z Î R 且，求 x + y + z 之最大值，最小值。Ans 最大值 7；最小值 - 3【解】 由柯西不等式知[42 + ()2 + 22] ³ Þ 25 ´ 1 ³ (x + y + z - 2)2 Þ 5 ³ |x + y + z - 2|Þ - 5 £ x + y + z - 2 £ 5 ∴ - 3 £ x + y + z £ 7故 x + y + z 之最大值为 7，最小值为 - 311.（2025 南开）设为正数，且求的最小值.【答案】由柯西不等式12.假如，求的最大值. 【答案】解：∴当且仅当时，取得最大值.注：也可用二元均值不等式13.（1）已知实数满足：，，试求的最大值与最小值【答案】14.已知正数 x,y,z 满足 x+y+z=xyz,且不等式≤λ 恒成立,求 λ 的范围.解析:由二元均值不等式及柯西不等式,得≤故 λ 的取值范围是［,+∞).温馨提示本题主要应用了最值法,即不等式≤λ 恒成立,等价于()max≤λ,问题转化为求f(x,y,z)=的最大值.15...
