函数概念与性质[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]函数值域的求法函数的值域由函数的定义域和对应关系确定，一旦函数的定义域和对应关系确定了，值域也就确定了．而求函数的值域并没有统一的方法，如果函数的定义域是由有限的几个数构成的集合，那么可将函数值一个一个求出来构成集合——值域；如果函数的定义域是一个无限数集，那么需根据函数解析式的特点采取相应的方法来求其值域．【例 1】 求下列函数的值域：(1)y＝；(2)y＝；(3)f(x)＝x＋；(4)y＝．[思路点拨] (1)用直接法(观察法)；(2)所求函数解析式为分式，因此可利用分离系数法或反解法；(3)中含有根式，可利用换元法求解；(4)可以转化为关于 x 的一元二次方程，利用判别式法求出值域，也可以创造条件利用基本不等式求出最值，得到值域．[解] (1)由偶次方根的被开方数为非负数，得 2x≥0，即 x≥0．所以函数 y＝的定义域为[0，＋∞)，因此≥0，所以函数 y＝的值域为[0，＋∞)．(2)法一(分离系数法)：y＝＝＝2＋．而≠0，所以 2＋≠2，因此函数 y＝的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．法二(反解法)：因为分式的分母不能为零，所以 x＋3≠0，即 x≠－3，所以函数 y＝的定义域为{x∈R|x≠－3}．又由 y＝，得 x＝．而分式的分母不能为零，所以 2－y≠0，即y≠2．所以函数 y＝的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．(3)令＝t，则 t≥0，x＝＝t2＋，∴y＝t2＋＋t＝－． t≥0，∴y≥，∴函数 f(x)＝x＋的值域为．(4)法一(判别式法)：由 y＝得 x2－yx＋1＝0，因为关于 x 的方程有实数根，所以 Δ＝y2－4≥0，解得 y≥2 或 y≤－2，所以该函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．法二(基本不等式法)：函数 y＝的定义域为{x|x∈R 且 x≠0}，当 x>0 时，y＝x＋≥2 当且仅当 x＝1 时取等号．当 x<0 时，y＝x＋＝－≤－2 当且仅当 x＝－1 时取等号．所以该函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．常见的求值域的方法1 直接法观察法：对于有些函数直接求出函数值，并将所有函数值组成集合，就得到函数的值域.例如求函数 fx＝5x＋1x∈{1，2，3，4}的值域，只需将所有自变量的函数值都求出来，即可得到函数 fx的值域为{6，11，16，21}.2 分离常数法：对于一些分式函数，可以利用多项式除法化成一个常数与一个分式之和的形式，然后根据分式的特点去求函数的值域.4 图象法：通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域.5 ...
