高中数学 第3章 三角恒等变形 1 同角三角函数的基本关系学案 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学学案

§1 同角三角函数的基本关系学 习 目 标核 心 素 养1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.(重点)2.会利用这两个公式求三角函数式的值，化简三角函数式或证明三角恒等式．(难点)1.通过学习同角三角函数基本关系式提升数学抽象素养．2.通过运用同角三角函数基本关系化简或证明三角恒等式，培养逻辑推理素养.同角三角函数基本关系式(1)关系式① 平方关系：sin2α＋cos2α＝__1__；② 商数关系：＝tan__α.(2)文字叙述同一个角 α 的正弦、余弦的平方和等于 1，商等于角 α 的正切．(3)变形形式①1＝sin2α＋cos2α；②sin2α＝1 － cos 2 α ；cos2α＝1 － sin 2 α ；③sin α＝± ；cos α＝± ；④sin α＝cos αtan α；⑤(sin α±cos α)2＝1±2sin_α cos __α.思考：sin230°＋cos245°等于 1 吗？有意义吗？[提示] 不等于 1，分母为 0，无意义．1．已知 sin α＝－，α 是第三象限角，则 tan α 等于( )A． B．－ C． D．－C [因为 sin α＝－，且 α 是第三象限角．所以 cos α＝－＝－.所以 tan α＝＝.]2．已知 3sin α＋cos α＝0，则 tan α＝________.－ [因为 3sin α＋cos α＝0，所以 cos α＝－3sin α，所以 tan α＝＝＝－.]3．已知 sin θ＝，cos θ＝，则 m＝________.0 或 8 [由 sin2θ＋cos2θ＝1 得，m＝0 或 8.]4.cos2x＝( )A．tan x B．sin xC．cos xD．D [原式＝cos2x＝·cos2x＝.]利用同角基本关系式求值【例 1】 已知 cos α＝－，求 sin α，tan α 的值．[解] cos α＝－<0，∴α 是第二或第三象限的角．如果 α 是第二象限角，那么sin α＝＝ ＝，tan α＝＝＝－.如果 α 是第三象限角，同理可得sin α＝－＝－，tan α＝.已知角 α 的某一种三角函数值，求角 α 的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系， 再用商数关系.另外也要注意“1”的代换，如“1＝sin2α＋cos2α”.本题没有指出 α 是第几象限的角，则必须由 cos α 的值推断出 α 所在的象限，再分类求解.1．已知 tan α＝且 α 为第三象限角，求 sin α，cos α 的值．[解] 由 tan α＝＝，得 sin α＝cos α.①又 sin2α＋cos2α＝1，②由①②得 cos2α＋cos2α＝1，即 cos2α＝，又 α 是第三象限角，∴cos α＝－，sin α＝－.利用 sin α...