高中数学 第3章 指数运算与指数函数 1 指数幂的拓展学案（含解析）北师大版必修第一册-北师大版高一第一册数学学案

§1 指数幂的拓展学 习 目 标核 心 素 养1．理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化．(重点)2．了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用有理数指数幂逼近的思想方法．(易混点)1．通过指数幂的拓展的学习，培养逻辑推理素养．2．通过分数指数幂与根式的互化，培养数学运算素养．1．根式(1)定义：式子叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(2)性质：(n＞1，且 n∈N*)①＝a．②＝ 2．正分数指数幂给定正数 a ，和正整数 m ， n (n＞1，且 m，n 互素)，若存在唯一的正数 b，使得 b n ＝ a m ，则称 b 为 a 的次幂，记作 b＝a，这就是正分数指数幂．3．分数指数幂分数指数幂正分数指数幂规定：a＝(a＞0，m，n∈N*，且 n＞1)负分数指数幂规定：a＝＝(a＞0，m，n∈N*，且 n＞1)0 的分数指数幂0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义思考：根式与分数指数幂有什么关系？提示：＝a.1．计算 243 等于( )A．9 B．3 C．±3 D．－3B [由 35＝243，得 243＝3.]2．若 b－3n＝5m(m，n∈N＋)，则 b＝( )A．5 B．5 C．5 D．5[答案] B3．用分数指数幂表示下列各式(式中 a>0)，(1)＝________；(2)＝________．(1)a (2)a [(1)＝a.(2)＝＝a.]4．若－10，x－2<0，∴原式＝2－x－x－1＝1－2x.根式的化简与求值【例 1】 化简：(1)(x＜π，n∈N*)；(2).[解] (1) x＜π，∴x－π＜0.当 n 为偶数时，＝|x－π|＝π－x；当 n 为奇数时，＝x－π.综上可知，＝(2)＝＝ .正确区分与(1)表示 a 的 n 次方的 n 次方根，而表示 a 的 n 次方根的 n 次方，因此从运算角度看，运算顺序不同．(2)运算结果不同①＝a.②＝1．若 xy≠0，则使＝－2xy 成立的条件可能是( )A．x＞0，y＞0 B．x＞0，y＜0C．x≥0，y≥0 D．x＜0，y＜0B [ ＝2|xy|＝－2xy，∴xy≤0.又 xy≠0，∴xy＜0，故选 B.]2．若＝，则实数 a 的取值范围为________． [＝|2a－1|，＝1－2a.因为|2a－1|＝1－2a，故 2a－1≤0，所以 a≤.]根式与分数指数幂的互化【例 2】 (1)3 可化为( )A． B．C． D．(2)可化为( )A．a B．aC．a D．－a[思路点拨] 熟练应用＝a 是解决该类问题的关键．(1)D (2)A [(1)3＝＝.(2)＝＝a.]根式与分数指数幂的互化规律1．关于式子＝a的两点说明(1)根指数 n 即分数指数的分母；(...