第 3 课时 放缩法、几何法与反证法学习目标 1.理解用放缩法证明不等式的原理，会用放缩法证明一些不等式.2.了解几何法证明不等式的特征，会构造一些特征明显的图形证明一些特定的不等式.3.理解反证法的理论依据，掌握反证法的基本步骤，会用反证法证明不等式．知识点一 放缩法思考 放缩法是证明不等式的一种特有的方法，那么放缩法的原理是什么？答案 ①不等式的传递性；②等量加(减)不等量为不等量．梳理 放缩法(1)放缩法证明的定义在证明不等式时，有时可以通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)，或通过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法．(2)放缩法的理论依据① 不等式的传递性；② 等量加(减)不等量为不等量；③ 同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．知识点二 几何法通过构造几何图形，利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为几何法．知识点三 反证法思考 什么是反证法？用反证法证明时，导出矛盾有哪几种可能？答案 (1)反证法就是在否定结论的前提下推出矛盾，从而说明结论是正确的．(2)矛盾可以是与已知条件矛盾，也可以是与已知的定义、定理矛盾．梳理 反证法(1)反证法证明的定义：反证法是常用的证明方法．它是通过证明命题结论的否定不能成立 ，来肯定命题结论一定成立．(2)反证法证明不等式的一般步骤：①作出否定结论的假设；②进行推理，导出矛盾；③否定假设，肯定结论.类型一 放缩法证明不等式例 1 已知实数 x，y，z 不全为零，求证：＋＋＞(x＋y＋z)．证明 ＝≥＝≥x＋.同理可得≥y＋，≥z＋.由于 x，y，z 不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加，得＋＋＞＋＋＝(x＋y＋z)．反思与感悟 (1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，谨慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败．(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换成较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．跟踪训练 1 求证：－＜1＋＋…＋＜2－(n∈N＋且 n≥2)．证明 k(k＋1)＞k2＞k(k－1)(k∈N＋且 k≥2)，∴＜＜，即－＜＜－(k∈N＋且 k≥2)．分别令 k＝2,3，…，n，得－＜＜1－，－＜＜－，…，－＜＜－，将这些不等式相加，得－＋－＋…＋－＜＋＋…＋＜1－＋－＋…＋－，...
