高中数学 第一章 数列 1.1.2 数列的函数特性学案（含解析）北师大版必修5-北师大版高二必修5数学学案

1．2 数列的函数特性知识点一 数列的单调性 [填一填](1)数列按照项与项之间的大小关系可分为递增数列，递减数列，摆动数列和常数列；(2)一般地，一个数列{an}，如果从第 2 项起，每一项都大于它前面的一项，即 an＋1> a n，那么这个数列叫作递增数列；(3)一个数列，如果从第 2 项起，每一项都小于它前面的一项，即 an＋1< a n，那么这个数列叫作递减数列；(4)一个数列，如果从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫作摆动数列；(5)如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫作常数列．[答一答]1．如何证明数列的单调性？提示：证明数列的单调性的主要方法有：(1)定义法：其中之一是作差比较，为了便于判断 an＋1－an的符号，通常将 an＋1－an变成常数形式或因式连乘积的形式或平方和形式．除了作差比较外，也可以采用作商的方法，作商时，首先应明确数列的项 an 的符号(an>0 还是 an<0)，将其商与 1 进行比较，从而确定数列的单调性，对于多项式应进行因式分解，对于根式，进行分子(或分母)有理化．(2)借助于数列图像的直观性，证明数列的单调性．知识点二 数列的递推公式 [填一填]如果已知数列的第一项 ( 或前几项 ) 及相邻两项 ( 或几项 ) 间的关系 可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的递推公式．[答一答]2．数列{an}的通项公式与递推公式有怎样的区别与联系？提示：数列{an}的通项公式与递推公式的区别与联系见表．数列概念与函数概念的联系与数列对应的函数是一种定义域为正整数集(或它的前 n 个数组成的有限子集)的函数，它是一种自变量“等距离”地离散取值的函数．从这个意义上看，它丰富了学生所接触的函数概念的范围．但数列与函数并不能画等号，数列是相应函数的一系列函数值．基于以上联系，数列也可用图像表示，从而可利用图像的直观性来研究数列的性质．数列的通项公式实际上是相应函数的解析式．类型一 数列表示法的应用 【例 1】 在坐标系中画出数列{n＋3}，的图像．【思路探究】 为了方便，在平面直角坐标系的两条坐标轴上取的单位长度可以不同．【解】 如下图(1)(2)所示．规律方法 数列可以看作是一个定义域为正整数集 N＋或它的有限子集{1,2，…，n}的函数，因此，数列的图像是以(n，f(n))为坐标的无限或有限的孤立的点．已知在数列{an}中，a1＝4，an＋1＝f(an)，n∈N＋，函数 y＝f(x)的对应关系如下表，则 a2 019＝( C )x12345...