高中数学 第一章 数列 3.2 等比数列的前n项和(一)学案 北师大版必修5-北师大版高一必修5数学学案

3.2 等比数列的前 n 项和(一)学习目标 1.掌握等比数列的前 n 项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前 n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．知识点一 等比数列的前 n 项和公式的推导思考 对于 S64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用 2 乘以等式的两边可得 2S64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出 S64?梳理 设等比数列{an}的首项是 a1，公比是 q，前 n 项和 Sn可用下面的“错位相减法”求得．Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.①则 qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn.②由①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn.当 q≠1 时，Sn＝.当 q＝1 时，由于 a1＝a2＝…＝an，所以 Sn＝na1.结合通项公式可得：等比数列前 n 项和公式：Sn＝知识点二 等比数列的前 n 项和公式的应用思考 要求等比数列前 8 项的和：(1)若已知数列的前三项，用哪个公式比较合适？(2)若已知 a1，a9和 q，用哪个公式比较合适？ 梳理 一般地，使用等比数列求和公式时需注意：(1) 一定不要忽略 q＝1 的情况；(2) 知道首项 a1、公比 q 和项数 n，可以用；知道首尾两项 a1，an和 q，可以用；(3) 在通项公式和前 n 项和公式中共出现了 5 个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个．简称为：“知三求二”．类型一 等比数列前 n 项和公式的应用命题角度 1 前 n 项和公式的直接应用例 1 求下列等比数列前 8 项的和：(1)，，，…；(2)a1＝27，a9＝，q<0. 反思与感悟 求等比数列前 n 项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意 q＝1 是否成立．跟踪训练 1 若等比数列{an}满足 a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比 q＝________；前 n 项和Sn＝________.命题角度 2 通项公式、前 n 项和公式的综合应用例 2 在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求 Sn. 反 思 与 感 悟 (1) 在 等 比 数 列 的 通 项 公 式 和 前 n 项 和 公 式 中 ， 共 涉 及 五 个 量 ：a1，an，n，q，Sn，其中首项 a1和公比 q 为基本量，且“知三求二”．(2)在前 n 项和公式的应用中，注意前 n 项和公式要分类讨论，即 q≠1 和 q＝1 时是不同的公式形式，不可忽略 q＝1 的情况．跟踪训练 2 在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求 a3和 q.类型二 等比数列前 n 项和的实际应用例 3 某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产...