高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 同角三角函数的基本关系课堂导学案 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学学案

3.1 同角三角函数的基本关系课堂导学三点剖析1.公式 sin2α+cos2α=1 与=tanα 的推导及应用【例 1】 已知 sinθ、cosθ 是关于 x 的方程 x2-ax+a=0 的两根.(1)求 sin3θ+cos3θ 的值；(2)求 tanθ+的值.思路分析：(1)利用韦达定理，用 a 的代数式表示 sinθ+cosθ 与 sinθcosθ.(2)利用同角三角函数关系式 sin2α+cos2α=1，结合(1)构造关于 a 的方程.(3)求 a 值，注意检验 a 是否满足题意.(4)利用前面推导的结果及同角三角函数关系式求值.解：由韦达定理得所以 a2=(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=1+2a,即 a2-2a-1=0.所以 a=1±.又方程有两根，则 Δ=(-a)2-4a≥0，即 a≤0 或 a≥4，所以 a=1-,即 sinθ+cosθ=sinθcosθ=1-.(1)sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ)=-2.(2)tanθ+=--1.各个击破类题演练 1已知 sinθ-cosθ=,则 sin3θ-cos3θ=__________.解析: sinθ-cosθ=,∴(sinθ-cosθ)2=.∴1-2sinθcosθ=.∴sinθcosθ=.∴sin3θ-cos3θ=(sinθ-cosθ)(sin2θ+sinθ·cosθ+cos2θ)=×(1+)=.答案：变式提升 1已知:求 sinθ·cosθ 的值.解析:由,得,∴tanθ=2.∴sinθcosθ=.2.公式的变式应用【例 2】 已知 sinα=t 且|t|＜1,求角 α 的余弦值和正切值.思路分析:由于已知 sinα=t 中含有参数,因而无法确定 α 所在的象限,这时应对参数角 α进行分类讨论.解: sinα=t 且|t|＜1,∴角 α 可能为四个象限和 x 轴上的轴线角.(1)当 α 为第一、四象限和 x 轴非负半轴上的角时,有cosα=,tanα==.(2)当 α 为第二、三象限和 x 轴非正半轴上的角时,有cosα=,tanα==.友情提示 若已知正弦、余弦、正切中的某一个三角函数值是用字母表示的,且角所在象限也没有指定时,这个角 α 可能在四个象限(也可能是轴线角),此时,不必按四个象限讨论,只需将四个象限角(可能含轴线角)的三角函数值分成两组讨论.【例 3】 化简下列各式：(1)；(2).解析:(1)=cos2400°=|cos400°|=|cos(40°+360°)|=|cos40°|=cos40°.(2)==-1.友情提示 化简题目的目的:使项数尽可能地少,次数尽可能地低,函数的种类尽可能地少,分母中尽量不含三角函数符号,能求值的一定求值,尽可能地将根号中的因式移到根号外面.类题演练 2若 sinα=且 α 是第二象限角,则 tanα 的值等于（ ）A. B. C.± D.±解析: α 是第二象限角,∴cosα=.∴tanα=.答案：A变式提升 2已知 tanα 为非零...