高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 同角三角函数的基本关系学案（含解析）北师大版必修4-北师大版高二必修4数学学案

第三章 三角恒等变形§1 同角三角函数的基本关系知识点 同角三角函数的基本关系式 [填一填]常用的同角三角函数基本关系式的变形：(1)sin2α＋cos2α＝1 的变形：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sinα＝±，cosα＝±.(2)tanα＝的变形：sinα＝cosαtanα，cosα＝.[答一答]已知某角的一个三角函数值，求它的其他三角函数值时，应注意些什么？提示：(1)已知某角的一个三角函数值，求它的其他三角函数值时，要注意这个角的终边所在的象限．① 由 sin2α＋cos2α＝1 变形可知，cosα＝±或 sinα＝±，因此，在使用这两个变形公式计算时，要根据角 α 的终边所在的象限，确定根号前面的正负号．② 在使用 tanα＝时，没有选择正负号的问题，只是在 sinα，cosα 的计算中会出现上述①中的情形．(2)如果已知的三角函数值中含有字母，且没有指定角的终边在哪个象限，那么就需要结合数学中分类讨论的思想来确定其他三角函数值．对同角三角函数的基本关系式的四点说明(1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”如与，2α 与 2α 都是同角，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如 sin2α＋cos2α＝1.(2)sin2α 是(sinα)2的简写，不能写成 sinα2.因为 sinα2与 sin2α 含义不同．(3)在使用同角三角函数基本关系时要注意使式子有意义，如式子 tan90°＝不成立．(4)在应用平方关系式求 sinα 或 cosα 时，其正负号是由角 α 所在的象限决定的，不可凭空想象．类型一 利用同角三角函数的关系求值 【例 1】 (1)已知 sinα＝，求 cosα 和 tanα；(2)在△ABC 中，若 tanA＝，求 sinA 和 cosA.【思路探究】 (1)已知角 α 的正弦值，先用平方关系求 cosα，再求 tanα，注意角 α 是第几象限角不确定，故需要分类讨论；(2)已知角 A 的正切值，可利用角 A 终边上一点的坐标，根据三角函数的定义求解；也可利用同角三角函数的商数关系和平方关系求解，注意角 A 是△ABC 的内角这一隐含条件．【解】 (1) sinα＝>0，∴α 是第一或第二象限角．当 α 是第一象限角时，cosα＝＝＝，∴tanα＝＝＝.当 α 是第二象限角时，cosα＝－＝－＝－，∴tanα＝＝＝－.(2)法 1：因为 tanA＝，角 A 为三角形的内角，可知角 A 终边上一点的坐标为(3，)，...