高中数学 第三章 三角恒等变形 1 第1课时 求值问题教学案 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学教学案

第 1 课时 求 值 问 题[核心必知]同角三角函数基本关系式关系公式表达语言叙述平方关系sin 2 α ＋ cos 2 α ＝ 1 同一个角 α 的正弦、余弦的平方和等于 1商数关系＝ tan _α同一个角 α(α≠kπ＋(k∈Z))的正弦、余弦的商等于 α的正切[问题思考]1．如何理解同角三角函数关系中“同角”的含义？提示：“同角”有两层含义．一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，与角的表达式无关，如 sin22α＋cos22α＝1，sin2＋cos2＝1 等．2．平方关系对任意 α∈R 均成立，对吗？商数关系呢？提示：正确．因为对任意 α∈R，sin α，cos α 都有意义，所以 sin2α＋cos2α＝1 对任意角 α∈R 都成立．而商数关系，＝tan α 则不然，需保证 cos α≠0，则 tan α 有意义，所以商数关系，只对 α∈R，且 α≠kπ＋(k∈Z)成立．讲一讲1．(1)已知 sin α＝，α 是第二象限角，求 cos α，tan α；(2)若 cos α＝－，试求sin α，tan α 的值．[尝试解答] (1) sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α＝1－()2＝.又 α 是第二象限角，∴cos α<0，cos α＝－.∴tan α＝＝×(－)＝－.(2) cos α＝－<0，且 cos α≠－1，∴α 是第二或第三象限的角．当 α 是第二象限角时，sin α>0.∴sin α＝＝ ＝，tan α＝＝×(－)＝－.当 α 是第三象限角时，sin α<0，则 sin α＝－，tan α＝.1．同角三角函数基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，其最基本的应用是“知一求二”．2．知弦求值时，一般需用到平方关系，这时涉及开方运算，应注意角的取值范围．当角所在的象限不确定时，要注意就角所在的象限分类讨论．练一练1．[多维思考] 若本讲(2)条件改为“cos α＝m(m≠0)”，结果如何？解：当 m＝±1 时，sin α＝0，tan α＝＝0；当 m≠±1 时，由于 m≠0，所以角 α 为象限角．若 α 为第一或第二象限角，则 sin α＝＝，∴tan α＝＝ .若 α 为第三或第四象限角，则sin α＝－＝－，∴tan α＝＝－ .讲一讲2．已知 tan α＝2.试求：(1)sin α 的值；(2)和 sin αcos α 的值．[尝试解答] (1) tan2α＝＝＝－1，∴＝1＋tan2α.∴cos2α＝＝＝. tan α＝2>0，∴α 是第一或第三象限角．当 α 是第一象限角时，cos α>0，∴cos α＝，∴sin α＝cos αtan α＝×2＝.当 α ...