3.2 数学归纳法的应用1．进一步掌握利用数学归纳法证明不等式的方法和技巧．2．了解贝努利不等式，并能利用它证明简单的不等式．1．用数学归纳法证明不等式运用数学归纳法证明不等式的两个步骤实际上是分别证明两个不等式．尤其是第二步：一方面需要我们充分利用归纳假设提供的“便利”，另一方面还需要结合运用比较法、综合法、分析法、反证法和放缩法等其他不等式的证明方法．【做一做 1－1】设 f(k)是定义在正整数集上的函数，且 f(k)满足：当“f(k)≥k2成立时，总可推出 f(k＋1)≥(k＋1)2成立．”那么下列命题总成立的是( )．A．若 f(3)≥9 成立，则当 k≥1 时，均有 f(k)≥k2成立B．若 f(5)≥25 成立，则当 k＜5 时，均有 f(k)≥k2成立C．若 f(7)＜49 成立，则当 k≥8 时，均有 f(k)＜k2成立D．若 f(4)＝25 成立，则当 k≥4 时，均有 f(k)≥k2成立【做一做 1－2】证明＜1＋＋＋＋…＋＜n＋1(n＞1)．当 n＝2 时，中间式子等于________．2．贝努利不等式对任何实数 x≥－1 和任何正整数 n，有(1＋x)n≥________．当指数 n 推广到任意实数且 x＞－1 时，① 若 0＜α＜1，则(1＋x)α≤1＋αx；② 若 α＜0 或 α＞1，则(1＋x)α≥1＋αx．当且仅当 x＝0 时等号成立．【做一做 2】设 n∈N＋，求证：3n＞2n．答案：【做一做 1－1】D 由题意，设 f(k)满足：“当 f(k)≥k2成立时，总可推出 f(k＋1)≥(k＋1)2成立．”因此对于选项 A，不一定有 k＝1,2 时成立．对于选项 B，C 显然错误，对于选项D， f(4)＝25＞42，因此对于任意的 k≥4，总有 f(k)≥k2成立．【做一做 1－2】1＋＋＋ 当 n＝2 时，＝，∴中间式子为 1＋＋＋．2．1＋nx【做一做 2】分析：利用贝努利不等式来证明．证明： 3n＝(1＋2)n，根据贝努利不等式，有(1＋2)n≥1＋n×2＝1＋2n．上式右边舍去 1，得(1＋2)n＞2n．∴3n＞2n 成立．1．观察、归纳、猜想、证明的方法剖析：这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索型问题，命题的成立或不成立都需要预先归纳与探索，而归纳与探索多数情况下是从特例入手，得到一个结论，但这个结论不一定正确，因为这是由归纳法得出的，因此，需要给出一定的逻辑证明，所以通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律，其关键在于正确地归纳猜想，如果归纳不出正确的结论，那么数学归纳法的证明也就无法进行了．在观察与归纳时，n 的取值不能太少，因为前 n 项的关系可能只是特殊...
