第二章 几个重要的不等式§1 柯西不等式1.1 简单形式的柯西不等式学习目标1.认识并理解平面上的柯西不等式的代数和向量形式.2.会用柯西不等的代数形式和向量形式证明比较简单的不等式，会求某些函数的最值.预习自测1.柯西不等式若 a，b，c，d∈R，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥( ac ＋ bd ) 2 ，等号成立⇔ad ＝ bc .2.柯西不等式的向量形式设 α，β 为平面上的两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当 β 是零向量，或存在实数 k，使 α ＝ k β 时，等号成立.自主探究1.如何证明：a1，a2，b1，b2∈R 时，(a＋a)(b＋b)≥(a1b1＋a2b2)2?提示 (a＋a)(b＋b)－(a1b1＋a2b2)2≥0⇔ab＋ab＋ab＋ab－ab－ab－2a1b1a2b2≥0⇔ab－2a1b1a2b2＋ab≥0⇔(a1b2－a2b1)2≥0.上式中等号成立⇔a1b2＝a2b1.2.设平面上两个向量为 α＝(a1，a2)，β＝(b1，b2)，你能证明|α||β|≥|α·β|吗？提示 cos〈α，β〉＝＝，∴cos2〈α，β〉＝≤1，即(a＋a)(b＋b)≥(a1b1＋a2b2)2，·≥|a1b1＋a2b2|.∴|α||β|≥|α·β|，等号成立的充要条件为 α＝λβ (λ≠0).典例剖析知识点 1 利用柯西不等式证明不等式【例 1】 已知 3x2＋2y2≤6，求证：2x＋y≤.证明 由于 2x＋y＝(x)＋(y).由柯西不等式(a1b1＋a2b2)2≤(a＋a)(b＋b)得(2x＋y)2≤(3x2＋2y2)≤×6＝×6＝11，∴|2x＋y|≤，∴2x＋y≤.【反思感悟】 柯西不等式(a＋a)(b＋b)≥(a1b1＋a2b2)2⇔ ≥|a1b1＋a2b2|，应用时关键是对已知条件的变形.1.已知 a，b，c，d∈R，x>0，y>0，且 x2＝a2＋b2，y2＝c2＋d2，求证：xy≥ac＋bd. 证明 由柯西不等式知：ac＋bd≤＝·＝xy.∴xy≥ac＋bd.【例 2】 (二维形式的三角不等式)设 x1，y1，x2，y2∈R，用代数的方法证明 ＋≥ .证明 (＋)2＝x＋y＋2 ＋x＋y≥x＋y＋2|x1x2＋y1y2|＋x＋y≥x＋y－2(x1x2＋y1y2)＋x＋y＝x－2x1x2＋x＋y－2y1y2＋y＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2∴＋≥【反思感悟】 在平面中设 α＝(x1，y1)，β＝(x2，y2)，则 α±β＝(x1±x2，y1±y2)，由向量加法的三角形法则知：|α|＋|β|≥|α＋β|⇔＋≥，由向量减法的几何意义知：|α|＋|β|≥|α－β|⇔＋≥.2.利用柯西不等式证明：≥.证明 ＝≤(a2＋b2)＝.知识点 2 利用柯西不等式求函数的最值【例 3】 求函数 y＝5＋的最大值.解 函数的定义域为{x|1≤x≤5}.y＝5＋≤＝×2＝6 当且仅当 5＝即 x＝时取等号，故函数的最大值为 6.【反思感悟】 解题的关键是对函...
