第二章 几个重要的不等式章末复习学习目标 1.梳理本章的重点知识，构建知识网络.2.进一步理解柯西不等式、排序不等式和贝努利不等式，并能够熟练应用.3.理解数学归纳法的基本思想，初步形成“归纳—猜想—证明”的思维模式．1．柯西不等式定理 1：对任意实数 a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.当向量(a，b)与向量(c，d)共线时，等号成立．定理 2：设 a1，a2，…，an与 b1，b2，…，bn是两组实数，则有(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.当向量(a1，a2，…，an)与向量(b1，b2，…，bn)共线时，等号成立．即＝＝…＝时(规定 ai＝0 时，bi＝0)等号成立．推论：设 a1，a2，a3，b1，b2，b3 是两组实数，则有(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2.当向量(a1，a2，a3)与向量(b1，b2，b3)共线时等号成立．2．排序不等式定理 1：设 a，b 和 c，d 都是实数，如果 a≥b，c≥d，那么 ac＋bd≥ad＋bc.当且仅当 a＝b(或 c＝d)时取“＝”号．定理 2：(排序不等式)设有两个有序实数组a1≥a2≥…≥an及 b1≥b2≥…≥bn，则(顺序和)a1b1＋a2b2＋…＋anbn≥(乱序和)≥(逆序和)a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1.其中 j1，j2，…，jn是 1,2，…，n 的任一排列方式，上式当且仅当 a1＝a2＝…＝an(或 b1＝b2＝…＝bn)时取“＝”号．1212njjnja ba ba b＋＋＋3．贝努利不等式对任何实数 x≥－1 和任何正整数 n，有(1＋x)n≥1＋nx.4．数学归纳法数学归纳法原理是证明关于正整数 n 的命题．步骤：(1)验证当 n 取第一个值 n0(如 n0＝1 或 2 等)时命题正确．(2)假设当 n＝k 时(k∈N＋，k≥n0)命题正确，证明当 n＝k＋1 时命题也正确.类型一 利用柯西不等式证明不等式例 1 已知 a，b，c，d 为不全相等的正数，求证：＋＋＋＞＋＋＋.证明 由柯西不等式知，·≥2，于是＋＋＋≥＋＋＋.①等号成立⇔＝＝＝⇔＝＝＝⇔a＝b＝c＝d.又已知 a，b，c，d 不全相等，则①中等号不成立．即＋＋＋＞＋＋＋.反思与感悟 利用柯西不等式证题的技巧(1) 柯 西 不 等 式 的 一 般 形 式 为 (a ＋ a ＋ … ＋ a)·(b ＋ b ＋ … ＋ b)≥(a1b1 ＋ a2b2 ＋ … ＋anbn)2(ai，bi∈R，i＝1,2，…，n)，形式简洁、美观、对称性强，灵活地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式的证明问题迎刃而解．(2)利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数，并向着柯西不等式的形式进行...
