3.3 空间两点间的距离公式学习目标 1.了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程.2.会应用空间两点的距离公式求空间中两点间的距离．知识点 空间两点间的距离公式思考 如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，若长方体的长、宽、高分别为 a，b，c，则其对角线 AC1的长等于多少？ 梳理 两点间的距离公式(1)在空间直角坐标系中，任意一点 P(x，y，z)与原点间的距离|OP|＝.(2)空间中 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝.类型一 求空间两点间的距离例 1 已知在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点 M 是 B1C1的中点，点 N 是 AB的中点．以 D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)写出点 D，N，M 的坐标； (2)求线段 MD，MN 的长度． 反思与感悟 求空间两点间的距离的步骤(1)求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．(2)确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．跟 踪 训 练 1 如 图 所 示 ， 在 直 三 棱 柱 ABC － A1B1C1 中 ， |C1C| ＝ |CB| ＝ |CA| ＝2，AC⊥CB，D，E 分别是棱 AB，B1C1的中点，F 是 AC 的中点，求 DE，EF 的长度． 类型二 求空间点的坐标例 2 已知点 A(4,5,6)，B(－5,0,10)，在 z 轴上有一点 P，使|PA|＝|PB|，则点 P 的坐标为________．引申探究 1．若本例中已知条件不变，问能否在 z 轴上找一点 P，使得△ABP 是以 AB 为底边的等腰三角形？2．若本例中“在 z 轴上”改为“在 y 轴上”，其他条件不变，结论又如何？反思与感悟 (1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标．(2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解．跟踪训练 2 设点 P 在 x 轴上，使它到点 P1(0，，3)的距离是到点 P2(0,1，－1)的距离的 2倍，求点 P 的坐标． 类型三 空间两点间距离公式的应用例 3 如图所示，正方体棱长为 1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点 P 在正方体的体对角线 AB 上，点 Q 在正方体的棱 CD 上．当点 P 为体对角线 AB 的中点，点 Q 在棱 CD 上运动时，求|PQ|的最小...
