高中数学 第二章 数列 2.2.3 第1课时 公式推导及简单应用学案 苏教版必修5-苏教版高二必修5数学学案

第 1 课时 公式推导及简单应用学习目标 1.掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路.2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个.3.能用 an与 Sn的关系求 an.知识点一 等差数列前 n 项和公式思考 高斯用 1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50 迅速求出了等差数列前 100 项的和．但如果是求 1＋2＋3＋…＋n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？答案 不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对．但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：设 Sn＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n，又 Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1，∴2Sn＝(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋…＋[(n－1)＋2]＋(n＋1)，∴2Sn＝n(n＋1)，∴Sn＝.梳理 等差数列的前 n 项和公式：已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式Sn＝Sn＝na1＋d知识点二 a1，d，n，an，Sn知三求二思考 在等差数列{an}中，若已知 d，n，an，如何求 a1和 Sn?答案 利用 an＝a1＋(n－1)d 代入 d，n，an，可求 a1，利用 Sn＝或 Sn＝na1＋d 可求 Sn.梳理 (1)两个公式共涉及 a1，d，n，an及 Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，项和前 n 项和．(2)依据方程的思想，在等差数列前 n 项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”．1．若数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 an＝Sn－Sn－1，n∈N*.(×)2．等差数列的前 n 项和，等于其首项、第 n 项的等差中项的 n 倍．(√)类型一 等差数列前 n 项和公式的应用命题角度 1 a1，d，n，an，Sn知三求二例 1 已知一个等差数列{an}的前 10 项的和是 310，前 20 项的和是 1220，由这些条件能确定这个等差数列的前 n 项和的公式吗？考点 等差数列前 n 项和题点 等差数列前 n 项和有关的基本量计算问题解 方法一 由题意知 S10＝310，S20＝1220，将它们代入公式 Sn＝na1＋d，得到解方程组得∴Sn＝n×4＋×6＝3n2＋n.方法二 S10＝＝310，∴a1＋a10＝62，① S20＝＝1220，∴a1＋a20＝122，②②－①，得 a20－a10＝60，∴10d＝60，∴d＝6，a1＝4.∴Sn＝na1＋d＝3n2＋n.反思与感悟 (1)在解决与等差数列前 n 项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用．(2)构成等差数列前 n 项和公式的元素有 a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二．跟踪训练 1 在等差数列{an}中，已知 d＝2，an＝11，Sn＝35，求 a1和 n.考点...