求偶成美，巧妙解题(修正稿)湖南祁东育贤中学 周友良 匡宗春 421600所谓“求偶成美”，就是把孤立的问题让它“成双成对”，使问题在整体上构成和谐与优美．自然，问题的解法也出现了和谐与优美．【考题】 （2006 年川卷理第 15 题）如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于 P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点，是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|= ．【思考 1】 F 是椭圆的一个焦点，其实椭圆有两个对称的焦点，考虑“配偶”，比考虑“单身”更和谐，更美好．【解法 1】 设分别是椭圆的左、右焦点，由椭圆图形的对称性，得根据椭圆定义，得【思考 2】 显然，P1，P2，…，P2的横坐标 x1，x7；x2，x6；x3，x5；分别关于原点对称，故有x1+x2+…+x7=0 于是考虑到椭圆的焦半径公式．【解法 2】 设 F 为椭圆的左焦点（c ，0），则有|PF|=a+ex 于是有|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=（a+ex1）+（a+ex2）+…+（a+ex7）=7a+e（x1+x2+…+x7）=7a=35【点评】 利用对称性，使用“求偶之计”显示其问题的完美性以成和谐．配偶的结果，在解法 1 里得到完整（2a）；在解法 2 里得以抵消（成 0）．在数学解题过程中,合理地构造形式相似，具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这对对偶关系式进行适当的和,差,积等运算，往往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果。下面通过实例来谈谈构造对偶式的方法与策略。一． 和差对偶对于表达式，我们可构造表达式作为它的对偶关系式。使得两式相加(减)出现公式,或两式相加(减)出现相互抵消的情况, 或两式相加(减)后能与题设已知条件挂钩.例１若，且，求的值。解析：构造对偶式：则得再由，得：。点评：构造对偶式：后,可分别把用表示出来,再利用同角三角函数平方关系建立方程,将求出来.则的值求出来,再求得.这种构造对偶式的方法灵巧，富有创意，有助于培养学生的创新思维和创造能力。例２.已知：，且，求证：。解：则有：又，故，即原不等式成立。点评：这个对偶式构造得好！由从而有它的到来使问题出现了平均值不等式的迹象,一下子使问题冰雪消融了。解法自然，朴素，过程简洁，运算轻松！二． 互倒对偶互倒对偶是指针对式子的结构，通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式的方法。例 3.若，求证：。解：设,构造对偶式：，则而，故，即。点 评 ： 从 左 到 右 发 现 缩 小 后 未 知 量都 不 见 了 , ...
