7-7 立体几何中的向量方法（自主学习）【学习目标】1.理解直线的方向向量与平面的法向量．2. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．3. 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．4. 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.【学习任务】阅读选修 2-1 第 3 章第 2 节，完成以下内容一. 直线的方向向量和平面的法向量1.直线的方向向量直线 l 上的向量 e 或与 e 的向量叫做直线 l 的方向向量，显然一条直线的方向向量有 个．2．平面的法向量如果表示向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面 α，则称这个向量垂直于平面 α，记作 n⊥α，此时向量 n 叫做平面 α 的法向量．显然一个平面的法向量也有 个，且它们是 向量．3．设直线 l，m 的方向向量分别为 a，b，平面 α，β 的法向量分别为 u，v，则l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R；l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0；l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0；l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R；α∥β⇔u∥v⇔u＝kv，k∈R；α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0. 在求平面法向量时，所列方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何处理？ 下列命题是否正确(请在括号内填“√”或“×”)．(1)若 n1，n2分别是平面 α、β 的法向量，则 n1∥n2⇔α∥β.( )(2)若 n1，n2分别是平面 α、β 内的向量，则 α∥β⇔n1∥n2.( )(3)若 n1是直线 l 的一个方向向量，n2是平面 α 的一个法向量，则 l∥α⇔n1⊥n2.( )(4)若 n1＝(－7,3,4)，n2＝(x，y,8)分别是两直线 l1、l2的方向向量，若 l1∥l2，则 x＋y＝－8.( )二. 空间向量与空间角的关系1.两条异面直线所成角的求法设两条异面直线 a，b 的方向向量分别为 a，b，其夹角为 θ，则 cosφ＝|cosθ|＝ (其中 φ为异面直线 a，b 所成的角)．范围是(0，]．2．直线和平面所成角的求法如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角为 φ，两向量 e 与 n 的夹角为 θ，则有 sinφ＝|cosθ|＝ .取值范围是[0，]．3．求二面角的大小(1)如图①，AB、CD 是二面角 α－l－β 的两个半平面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝ ．(2)如图②③，n1，n2分别是二面角 α－l－β 的两个半平面 α，β 的法向量，则二面角的大小 θ满足 cosθ＝cos〈n1...
