高考数学总复习 第六章 数列 第35讲 等比数列及其前n项和练习 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三数学试题VIP免费

第35讲等比数列及其前n项和夯实基础【p74】【学习目标】1．掌握等比数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等．2．掌握等比数列的判断方法．3．掌握等比数列求和的方法．【基础检测】1．等比数列{an}中，a3＝27，a5＝243，则a1与a7的等比中项为()A．±81B．81C．－81D．27【解析】 a1·a7＝a＝a3a5，∴a1与a7的等比中项为±a4＝±＝±＝±81.【答案】A2．记等比数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝15，a2＋a4＝10，则a2＝()A．1B．－2C．2D．－1【解析】由题得∴a1＝1，q＝2，∴a2＝1×2＝2.【答案】C3．记等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝2n＋1＋λ，则λ的值为()A．4B．2C．－2D．－4【解析】根据题意，当n＝1时，2S1＝2a1＝4＋λ，故当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1， 数列{an}是等比数列，则a1＝1，故＝1，解得λ＝－2.【答案】C4．数列{an}为正项等比数列，若a3＝3，且an＋1＝2an＋3an－1(n∈N，n≥2)，则此数列的前5项和S5等于()A.B．41C.D.【解析】因为an＋1＝2an＋3an－1，所以q2＝2q＋3， q>0，∴q＝3，S5＝＋＋a3＋a3q＋a3q2＝.【答案】A5．已知数列满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，则其通项an＝________．【解析】因为a1＝1，an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2，则数列是以2为首项，2为公比的等比数列．an＋1＝2×2n－1，即an＝2n－1.【答案】2n－1【知识要点】1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母__q__表示(q≠0)．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1(n∈N*)．3．等比中项若G2＝a·b(ab≠0)，那么G叫做a与b的等比中项．4．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.5．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an．(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．(4)等比数列前n项和的性质公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__．典例剖析【p75】考点1等比数列基本量的运算(1)等比数列{an}中，an>0，a1＋a2＝6，a3＝8，则a6＝()A．64B．128C．256D．512【解析】由题意结合等比数列的通项公式可得：解得：则a6＝a1q5＝2×25＝64.【答案】A(2)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝()A．－7B．－5C．7D．5【解析】由题得a4a7＝－8，因为a4＋a7＝2，∴a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4，即或∴或所以a1＋a10＝－8＋(－8)＝－7或1＋(－2)3＝－7.【答案】A考点2等比数列的性质(1)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a11＝4，a6a12＝8，则a8a9＝________【解析】由等比数列的性质得a＝a5a11＝4，a＝a6a12＝8，因为数列的各项均为正，所以a8＝2，a9＝2，所以a8a9＝4.【答案】4(2)数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a＋a＋a＋…＋a等于()A．(3n－1)2B.(9n－1)C．9n－1D.(3n－1)【解析】 a1＋a2＋…＋an＝3n－1，n∈N*，n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1，∴当n≥2时，an＝3n－3n－1＝2·3n－1，又n＝1时，a1＝2满足上式，∴an＝2·3n－1，故数列{a}是首项为4，公比为9的等比数列．因此a＋a＋…＋a＝＝(9n－1)．【答案】B考点3等比数列的判定与证明已知数列{an}和{bn}满足a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数．(1)证明：对任意实数λ，数列{an}不是等比数列；(2)证明：当λ≠－18时，数列{bn}是等比数列．【解析】(1)假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有a＝a1a3，即＝λλ2－4λ＋9＝λ2－4λ9＝0，矛盾．所以对任意实数λ，{an}不是等比数列．(2)bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21]＝(－1)n＋1＝－(－1)n·(an－3n＋21)＝－bn.又λ≠－18，所以b1＝－(λ＋18)≠0.由上式知bn≠0，所以＝－(n∈N*)．故当λ≠－18时，数列{bn}是以－(λ...