专题限时集训(二)[平面向量与复数](时间：5分钟＋30分钟)基础演练夯知识1．已知(1＋2i)z＝3－i(i为虚数单位)，则复数z为()A．1－7iB.－iC．－＋iD.＋i2．若复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则在复平面内z对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．向量a＝(3，－4)，向量|b|＝2，若a·b＝－5，则向量a与b的夹角为()A.B.C.D.4．设向量a＝(2，－1)，b＝(3，4)，则a在b方向上的投影为________．5．已知平面向量a，b，若|a|＝3，|a－b|＝，a·b＝6，则|b|＝________，向量a，b夹角的大小为________．提升训练强能力6．已知复数z＝3＋4i，z表示复数z的共轭复数，则＝()A.B．5C.D．67．在复平面内，复数z＝(1＋2i)2对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．已知复数z1＝(2－i)i，复数z2＝a＋3i(a∈R)．若复数z2＝kz1(k∈R)，则a＝()A.B．1C．2D.9．设a，b为非零向量，λ∈R＋，满足|a＋b|＝λ|a－b|，则“λ>1”是“a，b的夹角为锐角”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则CP·(BA－BC)的最大值为()A．8B．9C．12D．1511．已知向量a·(a＋2b)＝0，|a|＝|b|＝1，且|c－a－2b|＝1，则|c|的最大值为()A．2B．4C.＋1D.＋112．已知a，b∈R，i是虚数单位．若＝2－i，则a＋bi＝________．13．在△ABC中，AB＝2，D为BC的中点．若AD·BC＝－，则AC＝________．14．已知四边形ABCD是边长为3的正方形，若DE＝2EC，CF＝2FB，则AE·AF的值为________．15．如图21，设α∈(0，π)，且α≠.当∠xOy＝α时，定义平面坐标系xOy为α－仿射坐标系，在α－仿射坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：e1，e2分别为与x轴、y轴方向相同的单位向量，若OP＝xe1＋ye2，则记为OP＝(x，y)，那么在以下的结论中，正确的有________．(填上所有正确结论的序号)图21①设a＝(m，n)，b＝(s，t)，若a＝b，则m＝s，n＝t；②设a＝(m，n)，则|a|＝；③设a＝(m，n)，b＝(s，t)，若a∥b，则mt－ns＝0；④设a＝(m，n)，b＝(s，t)，若a⊥b，则ms＋nt＝0；⑤设a＝(1，2)，b＝(2，1)，若a与b的夹角为，则α＝.专题限时集训(二)【基础演练】1．B[解析]z＝＝＝－i.2．A[解析]z＝＋3＝＋3＝2＋i＋3＝5＋i，所以复数z对应的点在复平面的第一象限．3．C[解析]易知|a|＝5，cos〈a，b〉＝＝＝－，即向量a与b的夹角为.4．[解析]a在b方向上的投影为＝＝.5．460°[解析]由|a－b|＝，平方得a2－2a·b＋b2＝13，代入已知条件得b2＝16，得|b|＝4，所以cos〈a，b〉＝＝＝，所以〈a，b〉＝60°.【提升训练】6．B[解析]z＝3－4i，＝＝|－4－3i|＝5，也可利用模的性质计算：＝＝＝5.7．B[解析]z＝(1＋2i)2＝－3＋4i，其对应的点的坐标为(－3，4)，故其对应的点在第二象限．8．A[解析]依题知z1＝1＋2i，由z2＝kz1得a＋3i＝k，即有故a＝.9．B[解析]由|a＋b|＝λ|a－b|两边平方，得(1－λ2)|a|2＋2(1＋λ2)a·b＋(1－λ2)|b|2＝0.若“a，b的夹角为锐角”，则a·b＞0，又由题设知λ＞0，故λ＞1；反之，若λ＞1，则a·b＞0，但a，b的夹角不一定为锐角．选B.10．B[解析]显然AC⊥BC，以点C为坐标原点，射线CA，CB分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，则C(0，0)，A(3，0)，B(0，4)．设CP＝CA＋λAB＝(3，0)＋λ(－3，4)＝(3－3λ，4λ)，其中0≤λ≤1，则CP·(BA－BC)＝CP·CA＝(3－3λ，4λ)·(3，0)＝9－9λ≤9，故CP·(BA－BC)的最大值为9.11．D[解析]由a·(a＋2b)＝0且|a|＝1，得a·b＝－，得〈a，b〉＝120°.在平面直角坐标系中，设a＝(1，0)，b＝，则a＋2b＝(0，)．设c＝(x，y)，由|c－a－2b|＝1得x2＋(y－)2＝1，即向量c的终点在圆x2＋(y－)2＝1上，所以|c|的最大值为＋1.12．2＋i[解析]＝2－i⇒(1＋ai)(1－i)＝(2－i)·(b＋i)⇒1＋a＋(a－1)i＝2b＋1＋(2－b)i，所以解得13．1[解析]AD·BC＝(AC＋AB)·(AC－AB)＝(AC2－AB2)＝(AC2－4)＝－，解得|AC|＝1.14．9[解析]方法一：以点A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则A(0，0)，E(2，3)，F...
