课后作业(三十一)等比数列一、选择题1．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为()A．2B．4C．8D．162．设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是()A．X＋Z＝2YB．Y(Y－X)＝Z(Z－X)C．Y2＝XYD．Y(Y－X)＝X(Z－X)3．(2013·大连模拟)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝()A.B.C.D.4．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为()A.或5B.或5C.D.5．(2012·皖北协作区联考改编)已知公差不为0的等差数列{an}满足a1，a3，a4成等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，则的值为()A．2B．3C.D.6．(2013·威海模拟)数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a＋a＋a＋…＋a等于()A．(3n－1)2B.(9n－1)C．9n－1D.(3n－1)二、填空题7．(2012·广东高考)若等比数列{an}满足a2a4＝，则a1aa5＝________．8．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________．9．等比数列{an}的公比q＞0，已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝________．三、解答题10．(2013·南昌调研)已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.(1)若a＝1，求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}唯一，求a的值．11．(2013·东北三校模拟)已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝a(a＞0)，数列{bn}满足bn＝anan＋1(n∈N*)．(1)若{an}是等比数列，求{bn}的前n项和；(2)当{bn}是公比为a－1的等比数列时，{an}能否为等比数列？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．12．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋c.(1)求c的值并求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝Sn＋2n＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.解析及答案一、选择题1．【解析】因为等比数列{an}满足anan＋1＝16n，①所以an＋1an＋2＝16n＋1，②②÷①得q2＝16.又因为anan＋1＝16n＞0，所以q＝4.【答案】B2．【解析】(特例法)取等比数列1，2，4，令n＝1得X＝1，Y＝3，Z＝7代入验算，选D.【答案】D3．【解析】设等比数列{an}的公比为q，由题意知即解得∴S5＝＝.【答案】B4．【解析】设等比数列的公比为q，则当公比q＝1时，由a1＝1得，9S3＝9×3＝27，而S6＝6，两者不相等，故不合题意．∴q≠1，又a1＝1，9S3＝S6，∴9×＝，解之得q＝2，∴{}的前5项和为1＋＋＋＋＝.【答案】C5．【解析】由题意，a1(a1＋3d)＝(a1＋2d)2，d≠0，∴a1＝－4d，∴＝＝＝2.【答案】A6．【解析】∵a1＋a2＋…＋an＝3n－1，n∈N*，n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1，∴当n≥2时，an＝3n－3n－1＝2·3n－1，又n＝1时，a1＝2适合上式，∴an＝2·3n－1，故数列{a}是首项为4，公比为9的等比数列．因此a＋a＋…＋a＝＝(9n－1)．【答案】B二、填空题7．【解析】∵数列{an}为等比数列，∴a2·a4＝a＝，a1·a5＝a.∴a1aa5＝a＝.【答案】8．【解析】由(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)得a＝5，因此等比数列{an}的首项为4，公比q＝＝＝.∴an＝4×()n－1.【答案】4×()n－19．【解析】∵an＋2＋an＋1＝anq2＋anq＝6an，∴q2＋q－6＝0，又q＞0，∴q＝2，由a2＝a1q＝1得a1＝，∴S4＝＝.【答案】三、解答题10．【解】(1)设数列{an}的公比为q，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2，由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)，即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋，q2＝2－.所以数列{an}的通项公式为an＝(2＋)n－1或an＝(2－)n－1.(2)设数列{an}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0(*)，由a＞0得Δ＝4a2＋4a＞0，故方程(*)有两个不同的实根．由数列{an}唯一，知方程(*)必有一根为0，将0代入(*)式，得a＝.11．【解】(1)∵{an}是等比数列，a1＝1，a2＝a(a＞0)，∴q＝a，从而an＝an－1，所以bn＝an·an＋1＝a2n－1，∴{bn}是首项为a，公比为a2的等比数列．当a＝1时，Sn＝n，当a≠1时，Sn＝＝.(2)数列{an}不能是等比数列．∵bn＝anan＋1，∴＝，依题设＝a－1，则a3＝a1(a－1)＝a－1.假设{an}是等比数列，则a＝a1a3，∴a2＝1×(a－1)，但方程无实根．从而数列{an}不能为等比数列．12．【解】(1)当n＝1时，a1＝S1＝2＋c，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，∴an＝∵数列{an}为等比数列，∴a1＝2＋c＝1，∴c＝－1.∴数列{an}的通项公式an＝2n－1.(2)∵bn＝Sn＋2n＋1＝2n＋2n，∴Tn＝(2＋22＋…＋2n)＋2(1＋2＋…＋n)＝2(2n－1)＋n(n＋1)＝2n＋1－2＋n2＋n.
