专题限时集训(九)随机变量及其分布[建议A、B组各用时：45分钟][A组高考达标]一、选择题1．已知变量X服从正态分布N(2,4)，下列概率与P(X≤0)相等的是()A．P(X≥2)B．P(X≥4)C．P(0≤X≤4)D．1－P(X≥4)B[由变量X服从正态分布N(2,4)可知，x＝2为其密度曲线的对称轴，因此P(X≤0)＝P(X≥4)．故选B.]2．(2016·厦门模拟)某种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100B．200C．300D．400B[将“没有发芽的种子数”记为ξ，则ξ＝1,2,3，…，1000，由题意可知ξ～B(1000,0.1)，所以E(ξ)＝1000×0.1＝100，又因为X＝2ξ，所以E(X)＝2E(ξ)＝200，故选B.]3．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为；向乙靶射击两次，每次命中的概率为.该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击，该射手恰好命中一次的概率为()A.B.C.D.C[××＋××＋××＝，故选C.]4．(2016·合肥二模)某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的概率为()【导学号：67722035】A.B.C.D.A[“A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的安排方法中，另外3人中任何一个人第一个出场的概率都相等，故“C第一个出场”的概率是.]5．箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现在4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是()A.B.C.D.B[若摸出的两球中含有4，必获奖，有5种情形；若摸出的两球是2,6，也能获奖．故获奖的情形共6种，获奖的概率为＝.现有4人参与摸奖，恰有3人获奖的概率是C3·＝.]二、填空题6．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.[由题意设P(ξ＝1)＝p，ξ的分布列如下：ξ012Pp－p由E(ξ)＝1，可得p＝，所以D(ξ)＝12×＋02×＋12×＝.]7．某学校一年级共有学生100名，其中男生60人，女生40人．来自北京的有20人，其中男生12人，若任选一人是女生，则该女生来自北京的概率是________．[设事件A为“任选一人是女生”，B为“任选一人来自北京”，依题意知，来自北京的女生有8人，这是一个条件概率，问题即计算P(B|A)．由于P(A)＝，P(AB)＝，则P(B|A)＝＝＝.]8．(2016·黄冈一模)荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图96所示，假设现在青蛙在A叶上，则跳三次后仍停在A叶上的概率是________．图96[设顺时针跳的概率为p，则逆时针跳的概率为2p，则p＋2p＝1，即p＝，由题意可知，青蛙三次跳跃的方向应相同，即要么全为顺时针方向，要么全为逆时针方向，故所求概率P＝3＋3＝＋＝.]三、解答题9．(2016·烟台二模)甲、乙两人进行象棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分．在其中的一方比对方多得2分或下满5局时停止比赛．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．(1)求没下满5局甲即获胜的概率；(2)设比赛停止时已下局数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．[解](1)没下满5局甲获胜有两种情况：①是两局后甲获胜，此时P1＝×＝，2分②是四局后甲获胜，此时P2＝××＝，4分所以甲获胜的概率P＝P1＋P2＝＋＝.5分(2)依题意知，ξ的所有可能值为2,4,5.6分设前4局每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为：2＋2＝.7分若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有：P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝5)＝2＝.10分所以ξ的分布列为：ξ245P故E(ξ)＝2×＋4×＋5×＝.12分10．甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲、乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分．已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是.设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．(1)求随机变量ξ的分布列及其数学期望E(...
